在荷兰小学数学教科书中学习解决问题的机会外文翻译资料

在荷兰小学数学教科书中学习解决问题的机会

原文作者：Marcvan Zanten ；Marja van den Heuvel‑Panhuizen

单位：荷兰课程发展学院

摘要：在荷兰，数学教科书对制定的课程具有决定性的影响。大约十年前，荷兰小学数学教科书几乎没有提供任何学习解决问题的机会。在这项研究中，我们调查了这一规定是否发生了变化。为了做到这一点，我们进行了教科书分析，确定了当前教科书在多大程度上提供了非常规的问题解决任务，而学生们并没有立即掌握特定的解决策略。我们还分析了教科书在多大程度上提供了“灰色区域”任务，这些任务并不是真正的非常规问题，但也不是可以直接解决的。此外，我们盘点了现有教科书促进学习解决问题的机会的其他方式。最后，我们研究了这些教科书在为具有不同数学能力的学生提供学习解决问题的机会方面的包容性。我们的研究结果表明，目前使用最广泛的荷兰教科书提供的学习解决问题的机会非常有限，而这些机会主要是为更有能力的学生提供的材料。在这方面，荷兰的主流教科书与十年前的情况相比并没有改变。新加坡数学教科书的荷兰语版教科书在提供最多数量的问题解决任务方面脱颖而出，并在面向所有学生的材料中提供这些任务。然而，在这本教科书促进学习解决问题的机会方面，有时会出现关于真正解决问题的创造性特征的紧张关系。

关键词： 非常规问题；启发式 ；学习促进者 ；为所有学生提供学习机会；教科书分析 ；比较教科书

1.介绍

数学与解决问题有着千丝万缕的联系。解决问题甚至被认为是数学的核心（Halmos 1980；Schoenfeld 1992；Dossey 2017）。然而，尽管长期以来人们认识到解决问题的重要性，但对它的含义仍有不同的解释。该术语以多种方式使用，具有不同的含义（例如，Schoenfeld 1992；Van Merieuml;nboer 2013；Xenofontos 2010）。解决问题可以参考技能、过程、教育目标和教学方法。具体来说，在数学教育领域，数学问题解决的教学和通过问题解决的数学教学之间存在区别（例如，Liljedahl et al. 2016）。在当前的研究中，重点是解决问题的教学。几位作者（例如，Burkhardt 2014；Zhu 和 Fan 2006）表示“问题”一词本身也可以有不同的解释。在学生必须完成的数学任务的含义中，“问题”一词可以指代所有类型的任务，无论他们的认知如何需求，但它也用于特定类型的任务，例如必须应用以前学过的数学的文字问题，或对学生来说是新的并且他们自己必须弄清楚如何解决的类似谜题的任务。本研究使用后一种含义。我们所说的问题是指非常规的数学任务，学生们没有立即掌握特定的解决策略。

在数学教育中，教科书在很大程度上决定了教师教什么，从而决定学生学什么（Stein 和 Smith 2010）。在荷兰，情况非常普遍（见第 2.1 节）。一般来说，如果某些内容没有包含在教科书中，那么它可能不会在课堂上涵盖（Stein et al. 2007）。因此，教科书中的内容对于学生获得的学习机会非常重要，包括学习解决问题。因此，对教科书内容的了解非常重要。大约十年前，对荷兰小学数学教科书的分析表明，教科书中几乎没有包含非常规的问题解决任务（Kolovou et al. 2009）。目前的研究是作为这项研究的后续研究，并调查了荷兰教科书系列现在在多大程度上包含了非常规解决问题的任务。除了这个目的之外，还探讨了除了提供这些任务之外，荷兰教科书是否还有其他方式可以促进学习解决问题的机会。

2.研究背景与研究问题

2.1教科书和在荷兰学习的机会

上述研究声称，教科书在制定的课程中具有决定性作用（Stein 和Smith 2010），这在很大程度上也适用于荷兰。 TIMSS 对四年级教师的研究发现，这些教师中有 94% 表示他们的教科书是他们教学的主要来源（Meelissen et al. 2012）。在荷兰进行的其他研究发现，超过 80% 的二年级和三年级教师表示他们遵循了超过 90% 的教科书内容（Hop 2012）。这些教师中的少数有时会跳过教科书的内容，但他们仍会教授 60-90% 的内容（同上）。另一项调查显示，只有少数 6 年级教师在课本旁边使用额外资源，主要是为能力较差的学生提供的材料和复习软件（Scheltens 等人，2013年）。这些研究的结果表明，绝大多数荷兰小学教师在教学中严重依赖他们使用的教科书系列。这意味着数学教科书系列在荷兰的日常教学实践中起着决定性的作用，因此在为学生提供的学习机会中也起着决定性的作用。因此，所使用的教科书对学习成果有显着影响，正如荷兰国家教育进步评估中反复显示的那样。对于几个学习主题，这些研究表明，使用不同教科书系列教学的学生的数学成绩存在显着差异（例如，Hop 2012; Kraemer et al. 2005; Scheltens et al. 2013）。

2.2学习非常规数学问题解决的机会

在他的开创性著作《如何解决它》（1945 年）中，波利亚没有使用“非常规”一词，但他确实定义了常规问题，即“可以通过将特殊数据替换为以前解决的一般问题来解决的任务，或者一步一步地遵循，没有任何独创性的痕迹，一些陈旧的显着例子”（第171页）。这意味着一项任务是否可以被视为常规任务至少部分取决于任务本身以外的因素，例如是否给出了示例。 Schoenfeld (1985,2013) 指出，仅困难并不能将任务定义为问题。相反，造成问题的不是任务本身的属性，而是“个人与任务之间的特殊关系”（Schoenfeld1985, p. 74）。因此，一项任务是否可以被认为是一个问题可能因人而异：对一个学生来说形成真正问题的任务可能是另一个学生的例行任务。此外，一项任务是否是一个问题可能会随着时间的推移而有所不同，毕竟，“解决并解决问题的人与开始解决问题的人不同。他或她比以前更了解下一个问题”（Schoenfeld 2013，第 20 页）。换句话说，最初被认为是问题的事情可以成为一项常规任务。

概率的这种相对和个人特征的问题lem 求解已经经常被提出（例如，Kantowski 1977；Lesh 和 Zawojewski 2007；Manouchehri 等人2012；Lester 2013）并且也反映在最近的经合组织出版物中，其中指出数学问题“涉及情况，在抽象或上下文环境中提出，与情况搏斗的个人不立即知道如何进行，也不知道是否存在将立即朝着解决方案前进的算法”（Dossey 2017，第 61 页）。研究人员可能会使用不同的措辞，但他们普遍认为，使数学任务成为问题的特征在于，必须解决问题的人没有直接的解决程序可供他或她使用。否则，这项任务就是 Poacute;lya(1945) 所说的“常规问题”或其他作者所说的，用一个更独特的术语，“练习”（例如，Burkhardt 2014; Manouchehri etal. 2012; Schoenfeld1985）。这些任务可以通过直接计算（Pretz et al. 2003）、执行规则或程序（Lesh and Zawojewski2007）、应用已知算法或遵循已制定的示例（Manouchehri et al. 2012）或遵循所见或所见来解决。教授解决方案路径（Burkhardt 2014）。在本研究中，我们将此类任务称为直截了当的。

不同于简单的任务，非常规问题需要的不仅仅是执行所需的计算。非常规问题需要更复杂的过程并提出更高的认知要求。解决这些任务涉及分析手头的问题，将程序与其基本数学概念联系起来，并在不同的表示之间建立联系（Stein et al. 2000）。或者，用 Lester (2013) 的话来说：“对于非常规任务，需要一种不同类型的视角，一种强调通过构建新表征来创造新意义的视角”（第 255 页）。真正问题的一个相关显着特征是它需要建模（例如，Lesh 和Zawojewski 2007；English 等人 2008），正如 Lesh 和 Zawojewski（2007）所指出的，这在某种程度上正在创造数学。换句话说，解决问题需要创造性的数学思维，最近发表的 ICME“最先进”问题解决报告（Liljedahl et al. 2016）强调了这一点。

本 ICME 出版物还强调了解决问题的另一个重要观点是启发式方法（参见 Poacute;lya 1945, 1962; Schoenfeld 1985, 1992, 2013; Mason et al. 2010）。这种方法涉及有意识地使用许多可能有助于找到解决方案的解决问题的策略，包括用对象解决问题、绘制图表、猜测看似合理的答案并检查它、逻辑推理、系统地提出问题。列表或表格，重述问题，简化问题，解决部分问题，思考相关问题，使用模型或方程，以及逆向工作（例如，Fanand Zhu2007; Lee et al. 2014 ）。

根据 Liljedahl 等人的说法。（2016），这种方法与解决问题的非常规的创造性特征之间可能存在一定的张力，因为“仅基于逻辑和演绎推理过程的问题解决启发式扭曲了问题解决的真实性质”（第 19 页）。因此，例如，启发式“思考一个相关的问题”可能会导致针对该特定类型的问题调用已知的解决过程，这意味着在这种情况下不会发生真正的问题解决。然而，启发式“制作系统列表或表格”可以激发发散性思维，这是真正解决问题的一个方面，而启发式“画图”可以支持建模问题的创造性过程。但是，绘制图表也可能导致使用众所周知的程序，就像思考相关问题不一定会导致回忆已知程序一样。然而，正如 Schoenfeld (1992) 指出的那样，当学生在某些启发式方法中得到强化练习时，这些就变成了单纯的算法。因此，正如问题解决和问题在本质上是相对的一样，启发式也可以这样描述——它们可以或不能提供学习解决问题的机会，此外，这部分是由于教学是如何形成的。另见English et al. 2008)。例如，引入启发式以独立的方式可能会激起学生将它们视为规则（Fan and Zhu 2007）。

尽管 Lester (2013) 声称研究还不足以说明解决问题的教学，但他确实列出了过去几十年研究中出现的重要原则。在他看来，两个最重要的原则是，学生为了提高他们解决问题的能力，必须“在很长一段时间内定期完成有问题的任务”（第 272 页），并且必须“有机会解决各种类型的有问题的任务”（同上）。换句话说，解决问题的学习会因有机会实际处理真正的和多样化的非常规问题而得到增强。因此，数学教科书可以为学习解决问题的机会做出贡献的一个明确方法是定期包含可能对学生来说可能是真正问题的任务。除了包括解决问题的任务外，Doorman 等人。 (2007) 建议教科书系列明确关注启发式方法。他们还指出，真正的问题解决通常被认为只有最优秀的学生才能实现（同上）。然而，Stein 和 Lane (1996) 认为，所有能力不同的学生都可能受益于从事具有高认知需求的任务的机会，例如非常规问题解决。最近，Jonsson 等人。 (2014) 发现认知能力较差的学生也可以从需要创造性数学推理的任务中获益。根据他们的研究，他们认为所有学生都应该有机会参与解决问题（同上）。如果有机会，能力较差的学生确实可能有学习解决问题的能力，例如，荷兰一项针对特殊教育学生的研究证明了这一点（Peltenburg 等人，2012 年）。因此，教科书可以增加学习解决问题的机会的最后一个方法是，不仅在专门为能力较强的学生准备的材料中，而且在为所有学生准备的材料中，都包含解决问题的任务和启发式方法。

2.3研究问题

大约十年前，Kolovou 等人。 (2009) 研究了荷兰教科书系列在多大程度上包含非常规的问题解决任务，即所谓的“灰色区域”任务，这些任务被定义为介于真正的问题解决任务和简单任务之间的任务（见第 3.3 节） . 更准确地描述这两种类型的任务）。调查了所有当时可用的教科书系列。分析的课本材料是针对四年级上半学年的。发现非常规问题的比例很低，占任务总数的0%到2%不等。综合来看，非常规问题解决任务和灰色区域任务的比例。仍然相当低占所有任务的 5% 到 13%。此外，发现大多数非常规和灰色区域的任

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