解决问题过程的表示：中国、新加坡和美国数学教科书的对比外文翻译资料

解决问题过程的表示：中国、新加坡和美国数学教科书的对比。

摘要：这项研究考查了中国、新加坡和美国学校在低年级水平时的数学教科书中如何选择解决问题的过程表示。从两个层次上进行对解决问题的过程进行分析，通常情况下，它采用了Poacute;lya的四阶段解决问题模型，另一层的分析是，其中包括17种不同的解决问题的启发式法则，如“行动”，“寻找一种模式”，“倒退”等。在三个国家的教科书中解决问题过程的表现方式的相似和不同之处被展示和比较。探讨了相似性，特别是差异的可能原因。在研究结束时就关于如何改进在数学教科书中的解决问题的表示提出了一些建议。

关键词：比较研究、数学问题解决、数学教科书、课程内容、Poacute;lya的解决问题模型、启发式解决问题、教材分析、低段数学

1、背景研究

学校教科书，作为支持许多国家的教学和学习的重要资源，在过去的几十年里得到了教育界的很多关注。在数学教育中，研究人员对这一领域的兴趣的增长可以从第三国际数学和科学研究（TIMSS）包括对来自大约50个国家的数百本教科书和其他课程材料的分析中观察到。2004年，第十届国际数学教育大会（ICME-10）组织了一个专门关注教科书的讨论小组（DG14）。这是ICME历史上第一次使用教科书作为讨论组焦点，该小组引起了许多参与者的兴趣。

在学校数学中，问题从古代就占据了中心地位（Stanic 和Kilpatrick 1988）。然而，直到20世纪70年代末，现代数学教育研究没有给问题解决很多注意。根据Schoenfeld（1992），数学教育问题解决的第一个主要呼声发生在1977年。从那之后，许多研究人员在研究解决问题的问题上做出了巨大努力，它成为了ICME-5的主题。

“在学校数学教科书中怎样呈现解决问题”的问题最近受到了研究人员的极大关注（例如，Fan和Zhu 2000; Hensey 1996; Li 1999; Mayer等人1995; Ng 2002; Nibbelink等人1987; Zhu 和Fan 2006）然而，尽管很多人注意到问题类型的表示，但是关于学校教科书如何表示问题解决过程的话题却很少被研究。另一方面，许多基于课堂的研究表明，对解决问题的过程，特别是解决问题的启发式方法的适当指导有利于学生解决问题的能力的发展（例如，Charles和Lester 1984; Hembree 1992; Higgins 1997; Lee 1982; Oladunni 1998; Schoenfeld 1979）。

这项研究是我们对如何在不同国家的数学教科书中表现问题解决问题的更大研究影响的一部分。它主要设计用于研究在中国，新加坡和美国选择的数学教科书如何表示解决问题的过程。我们认为，不仅学校教科书表示各种类型的问题方式，而且它们表示解决问题过程的方式将对教学和学习产生重要影响，最终影响学生解决问题的能力。事实上，各种研究表明，课堂教师采用的教学方法和在教室中使用的教科书中采用的方法往往是非常相似的（例如，Bierhoff 1996; Brown 1973; Fan和Kaeley 2000; Fujii 2001）。 TIMSS调查还发现，当他们选择教学方法时，大多数数学教师使用教科书作为主要的书面来源（见Beaton等人1996年）。

希望这项研究的结果可以为我们提供有用的文件，并增加关于学校数学教科书在三个不同国家的知识在解决问题过程的表示方面，研究展示了不同教科书之间的相似之处和不同之处，从而帮助我们更好地理解在教科书中改进解决问题过程的可能性。

2、方法

为了研究中国，新加坡和美国在数学教科书如何表示的解决问题过程，我们从三个国家中选择了九个数学教科书，建立了关于编码和数据分析的解决问题过程的概念框架。

2.1数学教科书

在三个国家里有各种数学教科书系列用于课堂教学。 在两个亚洲国家，教育系统基本上集中在一起，学校教科书必须经有关政府批准，才能被采纳为课堂教学。 在中国，除了上海市和浙江省，自1980年代末以来，所有地区都必须遵守国家教学大纲（现称为“标准”），并根据国家教学大纲使用教科书^[1]; 在新加坡，所有教科书都是根据教育部（MOE）颁发的课程大纲开发的。总共有9个系列的学校数学教科书在中国使用和两个系列在新加坡在中学阶段进行研究时。^[2]

对于中国教科书，我们选择了人民教育出版社（PEP）开发的系列进行分析。 这个系列是中国最广泛使用的。 根据Zeng（1997）的研究，大约70％的初中生使用它。^[3]

在新加坡，有四种类型的课程可供中学生采取：特殊课程，快捷课程，普通（学术）课程和普通（技术）课程。 约60％的学生每年参加特殊课程或快速课程（MOE，新加坡2002年，2003年）。 这两个课程的学生遵循所有科目相同的教学大纲，除了为特殊课程学生提供母语（中文，马来语或泰米尔语）更高的水平。 选择为这两个课程的学生开发的教科书系列，新课程D数学，用于研究。 研究发现，在进行研究时，约有68％的中学程度的学校使用这本教科书系列（Zhu和Fan 2002）。

相比之下，美国的教科书多种多样。根据Usiskin和Dossey（2004），美国大多数学区在各州提供的指导下设计了自己的课程/标准。在这项研究中，我们选择了由芝加哥大学数学项目（UCSMP）开发的数学教科书系列。正如Fan和Kaeley（2000）所声称的那样，UCSMP是美国课程改革和发展中规模最大，最先进的项目之一。此外，Goertz（2000）认为，这一系列与国家期望和国家数学教师委员会制定的课程标准（NCTM 1989，2000）相关。说到这一点，我们希望提醒读者，这项研究，本质上是一个探索性的案例研究，绝不打算，也不应该读者将选定的UCSMP系列的结果推广到其他美国数学教科书，这是可以理解的本研究之外的进一步工作。

总共审查了这三个国家的下列九种数学教科书，在这个研究中：

中国 义务教育三年级初中教材 - 代数I（书1，书2），代数II，几何I，几何II，由

人民教育出版社;

新加坡 新课程D数学1（第4版），新课程D数学2（第4版），由Shing Lee出版社出版;

美国 UCSMP代数（第2版），UCSMP几何（第2版），由Scott Foresman出版^[4]

2.2概念框架

关于解决问题过程的概念框架从教科书分析的角度来定义问题。

研究人员对于什么是问题有不同的理解。文献表明，最大的分歧在于情境与其解决方案之间存在的认知障碍（Fan and Zhu 2000）。在这项研究中，问题被定义为需要解决方案和/或决定的情况，无论解决方案是否容易获得或不是解决者。换句话说，研究考察了各种问题，包括所谓的“常规”问题和“非常规”问题，“常规”问题和“非常规”问题（例如项目任务，开放式问题）我们认为这个更广泛的定义在教科书分析中更有意义和可操作性，因为教科书是预期课程的组成部分。此外，将使用这些书的学生的背景以及何时他们将解决教科书中包括的问题的背景并不完全知道。此外，培养学生解决常规问题的能力。常规问题在教学和学习中也具有根本的重要性，数学作为生活是“充满常规问题”（福尔摩斯，1995年，第35页）。

研究人员已经建立了各种模型来描述问题解决者解决问题的一般问题解决程序（例如，布兰斯福德和斯坦因1984;杜威1933年约翰逊，引自Lester 1978; Krutetskii 1976; Poacute;lya1971）。在这些模型中，Poacute;lya的四阶段模型在数学教学中最常用（例如，Masingila和Moellwald 1993; McCoy 1994; Schoenfeld 1983,1985）。事实上，新加坡数学教学大纲中解决问题的解释也符合这个模式（MOE，Singapore 2000a）。同样，在美国，数学教科书中大多数解决问题的框架与Poacute;lya模型有关（Wilson et al。1993）。在表1中给出了四个解决问题的阶段的描述，这是从Poacute;lya（1971）如何解决而来的。

Poacute;lya的四阶段问题解决模式，我们将总结研究的总体策略，为解决数学问题提供一个总体指导。然而，正如Schoenfeld（1979）所提出的，在实际的解决问题中，用启发式来解决具体问题往往更加实用。值得注意的是，美国的新加坡数学教学大纲和NCTM标准明确列出了许多具体启发式方法，并为不同学校的课堂教学设定了不同的要求或建议（见教育部新加坡2000a，2000b;国家数学教师委员会）1989，2000）。在本研究中，分析了17个具体的解决问题的启发式方法，所有这些都可以在上述国家教学大纲或低年级的标准中找到。^[5] 表2列出了本研究中使用的17个具体的解决问题的启发式以及每个的简要说明。

2.3数据收集和分析

根据表1和表2总结的概念框架，我们检查并编码了三本教科书中提出的所有解决问题的程序。

应该指出，教科书中提出的所有问题解决程序都是在正文部分引入的问题。他们作为例子。事实上，他们中的大多数被明确地标示为“例子”。正如爱与皮姆（1996）所指出的，它们通常是为了教师的教学目的而设计的。我们在研究课本的演练中没有包括问题，因为这些问题没有解释问题解决程序，只给出了这些问题的最终答案。

在研究人员和/或其他外部学者之间检查了评估者之间的可靠性，特别是对于少数看似不明确的案例，尽管大多数是非常简单的。特别是，根据上述概念框架，独立编码人员被邀请编写三个随机选择的章节，其中一个来自三本教科书系列之一。这三章共叙述了102个问题解决程序。将独立编码器的编码结果与研究人员的编码结果进行比较。根据绝对一致的内部相关系数（ICC），不同编码人员之间的可靠性在一般策略中为0.95，对特定启发式存在判断为0.89，具体启发式为0.91。总体而言，我们认为本研究的编码结果是高度可靠的。

之后，对所有的编码结果进行了定量和定性的分析，以确定三国教科书在解决问题的程序方面的相似性和差异性。

3.结果与讨论

下面报告的结果首先是关于基于Poacute;lya四阶段问题解决模型的一般策略，然后讨论基于上述概念框架的具体启发式。

表1Poacute;lya的四个一般性解决问题的策略的描述

定义

1.理解问题 从givens中提取和吸收信息，确定问题的目标，如有必要重建问题，并尽可能引入适当的符号，以便于参考和操作。

2.制定计划 制定总体规划并选择相关方法，或者更合适地选择启发式方法，这可能有助于在第一阶段基于对问题的理解来解决问题。

3.执行计划 执行上一阶段制定的计划，并保持轨道获得答案。

4.回顾 检查解决方案的正确性，反映关键思想和过程问题解决方案，以及推广或扩展方法或结果。

表2具体的解决问题的启发式列表

描述

行动 使用人或物体来物理显示问题中正确描述的内容。

改变你的观点 当以前的方法无效时，从另一个角度接近一个问题。

绘制图表 根据可用信息进行草图，以便可视化地表示问题。

猜猜和检查 对答案进行合理猜测，然后检查结果，看是否有效。

如有必要，重复该程序以找到答案，或至少近似近似。

逻辑推理 证明如果一个语句被接受为true，那么其他语句可能会根据它显示为true。

寻找模式 基于仔细观察当前问题中的数字，形状等的共同特征，变化或差异，确定生殖器中的模式。

制作系统清单 构建一个有组织的列表，其中包含所有可能性，并最终找到答案。

做一个表 将数据组织到表中，然后使用表中的条目来解决问题。

假设 做出假设，然后根据天气和假设，找出已知和未知的关系，最后解决问题。

重述问题 改变原来的问题，使问题的陈述变得熟悉，从而更容易获得。

简化问题 将问题中的复杂数字或情况变为更简单的数字或数学变化。

解决部分问题 将问题分解为若干次问题，逐一解决问题，最后解决原来的问题。

想一下相关问题 使用相关问题的方法/结果或回顾相关问题，或者考虑以前解决的类似问题，以解决问题。

使用模型 创建视觉表示（例如，使用点，线或其他易于理解的符号）对数量或关系或更改的信息建模这涉及到这个问题。

使用等式 使用字母作为变量来表示问题中的未知数量，并建立和求解方程或不等式以获得答案。

使用前后概念 列出前后给出的动作前后的信息，并观察两种情况之间的变化（从前到后）找到解决方案。

工作倒退 从其结果或解决方案向后解决问题，以找出他们最终需要满足的条件。

3.1Poacute;lya模型在问题解决方案的表示

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Educ Stud Math (2007) 66:61–75

DOI 10.1007/s10649-006-9069-6

Representation of problem-solving procedures: A comparative look at China, Singapore,

and US mathematics textbooks

Lianghuo Fan amp; Yan Zhu

Published online: 31 March 2007

# Springer Science Business Media B.V. 2007

Abstract This study examined how selected school mathematics textbooks in China, Singapore, and USA at the lower secondary grade level represent problem-solving procedures. The analysis of problem-solving procedures was carried out in two layers – general strategies, which adopted Poacute;lyarsquo;s four-stage problem-solving model, and specific strategies, which consisted of 17 different problem-solving heuristics such as lsquo;acting it out,rsquo;

lsquo;looking for a pattern,rsquo; lsquo;working backwards,rsquo; etc. Both similarities and differences in the representation of problem-solving procedures in the textbooks across the three countries were revealed and compared. The possible reasons for the similarities and especially for the differences were explored. Suggestions about how to improve the representation of problem-solving in mathematics textbooks were provided at the end of the study.

Keywords Comparative study . Mathematical problem-solving . Mathematics textbooks . Curricular contents . Poacute;lyarsquo;s problem-solving model . Problem-solving heuristics . Textbook analysis . Lower-secondary mathematics

1 Background of the study

School textbooks, as an important resource in support of teaching and learning in many countries, have received increased attention from the international education community over the last decades. In mathematics education, the growth of researchersrsquo; interest in this area can be observed from the fact that the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) included an analysis of hundreds of textbooks and other curricular materials from about 50 countries. In 2004, the 10th International Congress on Mathematical Education (ICME-10) organized a Discussion Group specifically focused on textbooks (DG14). This was the first time in ICMErsquo;s history that textbooks had been a discussion group focus and the group aroused many participantsrsquo; interest.

L. Fan (*) : Y. Zhu

Centre for Research in Pedagogy and Practice, National Institute of Education, Nanyang Technological University, 1 Nanyang Walk, Singapore 637616, Singapore e-mail: lianghuo.fan@nie.edu.sg

In school mathematics, problems have occupied a central place since antiquity (Stanic and Kilpatrick 1988). Nevertheless, modern mathematics education research did not give problem-solving much attention until the late 1970s. According to Schoenfeld (1992), the first major call for problem-solving in mathematics education happened in 1977. Since then, many researchers have made great efforts in studying issues concerning problem- solving, and it became a main theme in ICME-5.

The issue of how problem-solving is represented in school mathematics textbooks has recently received considerable attention from researchers (e.g., Fan and Zhu 2000; Hensey

1996; Li 1999; Mayer et al. 1995; Ng 2002; Nibbelink et al. 1987; Zhu and Fan 2006). However, while much attention has been paid to the representation of problem types, the topic of how school textbooks represent problem-solving procedures has been rarely studied. On the other hand, many classroom-based studies have indicated that appropriate instruction on problem-solving procedures, especially problem-solving heuristics, benefits the development of studentsrsquo; ability in problem-solving (e.g., Charles and Lester 1984; Hembree 1992; Higgins 1997; Lee 1982; Oladunni 1998; Schoenfeld 1979).

This study is part of a larger research effort we have undertaken on the issue of how problem-solving is represented in mathematics textbooks in different countries. It was primarily designed to examine how selected mathematics textbooks in China, Singapore, and the United States represent problem-solving procedures. We believe that not only the ways in which school textbooks represent various types of problems, but also the ways in which they represent problem-solving procedures would have an important influence on teaching and learning, and ultimately on studentsrsquo; ability in problem-solving. In fact, various researches have revealed that the teaching approaches adopted by classroom teachers and those embodied in the textbooks used in their classrooms were often highly alike (e.g., Bierhoff 1996; Brown 1973; Fan and Kaeley 2000; Fujii 2001). The TIMSS survey also found that the majority of mathematics teachers used textbooks as the main written source when they selected teaching approaches (see Beaton et al. 1996).

It is hoped that the results of this study can provide us with useful documentation and add knowledge of how school mathematics textbooks in the three different countries represent problem-solving procedures, reveal the similarities and differences across the different textbooks, and therefore help us better understand the possible ways to improve the representation of problem-solving procedures in school textbooks.

2 Methodology

To investigate how mathematics textbooks represent problem-solving procedures in China, Singapore, and the United States, we selected nine mathematics textbooks at the lower secondary grade level from the three countries and established a conceptual framework about problem-solving procedures for coding and data analysis.

2.1 Mathematics textbooks

There are a variety of mathematics textbook series being used for classroom instruction in the three countries. In the two Asian countries, where educational systems are essentially centralized, school textbooks must be approved by the concerned governments before they can be adopted for classroom instruction. In China, all regions, except for Shanghai City

and Zhejiang P

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