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一种稀布矩形平面阵的多约束优化方法

刘恒 赵宏伟 李维梅 刘波

摘要 ：针对矩形孔径平而稀布阵的多约束优化问题(包括阵元数、阵列孔径和最小阵元间约束)，提出了一种基于矩阵映射的差分进化算法。该方法把差分进化算法的优化变量与阵元位置坐标按照特定的关系进行矩阵映射，使含有多约束的阵元分布优化问题转换为仅含差分进化算法优化变量上、下限约束的优化问题，从根本上避免了进化过程中的不可行解。通过抑制阵列峰值副瓣电平进行仿真实验，结果显示了该算法的高效性和稳健性，且能获得比现有方法更好的优化结果。

关键词：阵列天线；约束优化；差分进化算法；平面稀布阵；峰值副瓣电平

1.引言

稀布阵列因具有高分辨率和低成本受到广泛的研究，己成功应用于抗干扰卫星接收天线、高频地而雷达、射电天文学中的干涉阵等领域。由于稀布阵列天线的设计是一个复杂的非线性过程^[1-8]。果对均匀间隔阵列简单地进行稀疏设计，可以形成阵元间距为某个基本量的整数倍的稀疏阵，从而极大地简化了设计过程^[1,2]。相对于稀疏列的综合问题，阵元在孔径内随机分布的稀布阵由于具有更多的设计自由度^[3,4]，在同等阵元数和阵列孔径约束条件下能获得更优的辐射特性^[5-8]，近年来己受到广泛的关注。为了减少阵元之间的互耦以及消除栅瓣，通常约束相邻阵元间距不小于半波长^[9-12]，所以含约束的稀布阵设计是阵列天线的重要课题。

稀布阵是一个有阵元数、阵列孔径和阵元间距约束的多约束优化问题^[1,2]。现有的文献针对直线稀布阵己经做了大量的研究工作，并得到了多种不同的优化方法。考虑实际工程应用，目前少有文献对稀布平而阵进行研究，仅有对矩形平而稀布阵和圆形平而稀布阵的分析，以抑制阵列的峰值副瓣电平PSLL为目的^[13-16]。在文献[15-16]中，采用的遗传算法都是通过引入带约束的矩阵变换、设计广义交叉和变异算子的改进遗传算法，虽然在优化过程中有效地避免了不可行解的产生，但在引入遗传操作预处理和遗传操作后处理的同时，必然导致优化算法的计算量成倍增加。因此，寻找一种高效率的稀布平而阵的优化方法就显得格外重要。

差分进化(Differential Evolution, DE)算法^[17]是一种高效、快速、随机并行搜索方式，且操作简单、搜索能力强等原因，己经在阵列天线综合等电磁优化问题得到了广泛的应用。在杨世文教授的文章里，在时间调制天线阵列和幅度激励的方向图综合中应用DE算法进行优化，取得了比遗传算法更快的收敛速度。本文针对矩阵平而稀布阵的多约束优化问题(包括阵元数、阵列孔径和最小阵元间距约束)，提出一种基于矩阵映射的差分进化算法。通过特殊的矩阵映射关系，将阵元坐标矩阵转换为仅含差分进化算法优化变量的上、下约束问题，消除了优化过程中的不可行解，降低了算法的寻优空间，与现有的文献方法相比，大幅度地降低了稀布阵优化的计算量。

2. 矩形稀布阵优化问题模型

设优化稀布阵模型为图1所示的对称结构的矩形平而阵，阵元数为4N(N为正整数)，位于xoy平面上，关于x轴和y轴对称。任一阵元的坐标且，可保证阵列孔径约束为2L X 2H。

图1 对称稀布阵在第一象限的示意图

设为第n阵元在xoy平面内的坐标，记为第n个阵元的激励值。由于阵列的对称性，可以通过图1中N个阵元得到其他3N个阵元的坐标和激励，则矩形平而阵列的阵因子为

(1)

式中:为自由空间波长;为方向余弦，、分别为球坐标系下的俯仰角和方位角。假设阵元是理想点源，且等幅同相激励，即。为保持阵列孔径为2LX2H，设置。

为了方便优化，将阵元位置向量和巨W }yz}'..}y」变形为矩阵形式，则稀布平而阵列的坐标可以用P行Q列的矩阵和来描述，P和Q通过以下计算得到^[15]:

(2)

当阵元数时，阵元坐标矩阵和为满阵;当阵元数时，矩阵和为稀疏矩阵，其中有个元素被稀疏。设复数矩阵，则优化模型为求解阵元位置矩阵，使阵列的PSLL最低，并满足阵元间距约束，其中 ，为最小阵元间距约束：

(3)

为了抑制两个主面的PSLL，可以依据和面的PSLL之和构造适应度函数，即

(4a)

若要使所有平面的PSLL尽量低，适应度函数可定义为

(4b)

式中:是阵列方向图的主瓣峰值;的取值为方向图的副瓣区域。这是一个非线性的多约束优化问题，(3)式中阵元间距可简单地取为切比雪夫距离

(5)

容易证明，若阵列和满足切比雪夫距离约束，则满足最小阵元间距约束。

假设是x轴方向的阵元间距矩阵，其元素为第i行第j列的阵元与第i行第j -1列的阵元在x轴方向的坐标差，为第i行第1个阵元与y轴的间距，因此有。为了满足切比雪夫距离约束，每一行第一列阵元的坐标应该满足，其他列的阵元间距应满足。那么在x方向有Q个阵元，的取值范围为。同理可得，在y方向，第P行第j列阵元的y坐标的取值范围为。针对式(3)的多约束优化问题，本文提出一种矩阵映射的方法将约束问题转化为不含约束问题的优化。首先，随机生成P行Q 1列的矩阵和P 1行Q列的矩阵作为差分进化算法的优化变量，且有

(6)

式中:为[0.1]之间的随机数;为第i行第Q列阵元的x坐标; 为第P行第j列阵元的y坐标。令

为阵元间距最小约束向量。的取值范围为，的取值范围为，则阵元间距矩阵和可以通过以下特殊的映射关系得到:

(7)

式中

(8)

下面证明，对于任意矩阵和映射得到的阵元坐标矩阵和均满足阵元间距约束和阵列孔径约束，且满足间距和孔径约束的任何和都可以通过矩阵和映射得到。

对于任意满足式(6)的矩阵，有,因此，则，即满足最小阵元间距约束；第i行的孔径,满足阵列口径约束。

这意味着任意阵元间距矩阵满足切比雪夫的距离约束，同理可得也满足此条件，任何和都可以通过矩阵和映射得到。记，此时式(3)的优化模型转化为

(9)

阵元坐标矩阵和的所有可行解都可以通过矩阵和的映射得到，如果阵元数，则需要从矩阵和中随机地去掉个元素，为保持阵列孔径，和中的第P行第Q列的元素必须保留;如果，矩阵和不需要做任何操作。容易证明，去掉个元素后的矩阵和同样满足阵元间距约束和孔径约束。

3.仿真分析

在本节中，我们使用具有矩阵映射的DE算法作为稀疏平面阵列合成方法，并研究了其优先级。将矩阵和设置为DE的优化变量，其值的范围如公式（9）所示。DE/rand/1/bin适用于所有阵列设计案例，参数F设置为0.5，CR为0.9，分别进行五次独立随机试验。

A.仿真实例1(4N=108)

阵元数4N=108的对称矩形平而阵，阵元间距不小于，总孔径，为了进行算法性能的对比，采用相同的采样点数，即在区间[0,1]内的采样点数为100，同样取式(2)作为适应度函数，P=3,Q=9来表示阵元位置矩阵和，可知本文中矩阵和的变量个数为,个体采用64位的实数编码.DE算法的参数采用文献[15]推荐的DE/rand/1/bin,变异概率为0. 5，交叉概率为0. 9，种群数为50，进化代数为300，为了检验本文方法的稳健性，独立随机地运行5次仿真程序。在文献[15]中，其适应度最优个体为-45.456dB(在面，PSLL=-29.579dB;在面，PSLL=-15.859dB)。

在本文算法仿真结果中，最好的适应度值为-51.424dB(在面，PSLL=-34.998dB;在面，PSLL=-16.426dB，两个主面结果都优于文献[15])。最差的一次为-49.269dB。比文献[15]中最好优化结果分别低了5.968dB和3.308dB。图2给出了DE算法单次和5次平均收敛曲线，图3是最优稀布阵在和截面的方向图。表1给出了最优个体的阵元坐标矩阵和，对应的阵元分布图与文献[15]的对比如图4。

表1 最优阵4N=108的第一象限阵元坐标矩阵和

第一、第二个数分别x,y坐标，单位

图2 DE算法单次和5次平均收敛曲线

图3 和面的方向图

图4 第一象限内文献[15]与本文稀布阵分布图

B.仿真实例2(4N=100)

阵元数4N= 100，最小阵元间距约束、阵列孔径以及DE算法的参数设计与实例1一样.采用式(4a)作为适应度函数，对所有平面的副瓣进行抑制。根据式(2)计算得到P=3,Q=9，与实例1不同，经过矩阵映射后的阵元位置矩阵和有两个元素需要被剔除掉(第3行第9列的元素必须保留).在文献[15]中，最优个体的适应度为-18. 84dB。.

在本文算法优化结果中，最好的适应度值为-20. 384 dB，最差的结果为-20. 272 dB，比文献[15]中最好优化结果分别低了1. 54 dB和1. 43 dB。图5是最优稀布阵的归一化远场方向图。表2列出了最优个体的阵元坐标稀疏矩阵和，其中被剔除的位置用“X”标示，对应的阵元分布图与文献[15]的对比如图6所示。

通过上述两例的数值结果分析，证实了本文提出优化算法的优化效率，且具有好的收敛性和稳健性。

表2最优阵4N=108的第一象限阵元坐标矩阵和

第一、第二个数分别x,y坐标，单位

图5 归一化远场方向图

图6 第一象限内文献[15]与本文得到的稀布阵分布图

4结论

本文针对矩形平而稀布阵综合中的多约束优化问题(包括阵元数，阵列孔径和最小阵元间距约束)，提出了一种基于矩阵映射的差分进化算法，通过精心设计参数变量矩阵，将差分进化算法中的变量与阵元位置按照特定的关系进行映射。在保持可行解空间不变的前提下，将多约束优化问题转换为仅含变量上、下限约束的优化问题，从而避免了算法在优化过程中的不可行解.与现有公开发表的方法相比，本文提出的方法在变量数上有所增加，但避免了进化过程中复杂的后期处理，极大地提高了算法优化效率.且本文提出的方法具有好的通用性，可用于差分进化算法外的多种算法。

参考文献

[1] B. P. Kumar and G. R. Branner, “Design of unequally spaced arrays for performance improvement,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 47, no.3, pp. 511–523, Mar. 1999.

[2] B. P. Kumar and G. R. Branner, “Generalized analytical technique for the synthesis of unequally spaced arrays with linear, planar, cylindrical or spherical geometry,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 53, no. 2,pp. 621–634, Feb. 2005.

[3] M. I. Skolnik, G. Nemhauser, and J.W. Sherman, III, “Dynamic programming applied to unequally spaced arrays,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP-12, no. 1, pp. 35–43, Jan. 1964.

[4] B. Steinberg, “The peak sidelobe of the phased array having randomly located elements,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP-20, no. 2,pp. 129–136, Mar. 1972.

[5] R. L. Haupt, “Thinned arrays using genetic algorithm,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 42, no. 7, pp. 993–999, Jul. 1994.

[6] S. Caorsi, A. Massa,M. Pastorino, and A. Randazzo, “Optimization of the difference patterns for monopulse antennas by a hybrid real/integer-coded differential evolution method,” IEEE Trans.

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