平移分数傅里叶变换的卷积和相关定理及其应用

—Navdeep Goel，Kulbir Singh

—Punjabi 大学Gwu Kashi校区电子与通信工程科系，印度

摘 要

本文在OFRFT领域提出了新的卷积和相关定理。作者还通过基于快速傅里叶变换（FFT）和OFRFT域的时域卷积，讨论了OFRFT带通信号的乘法滤波器的设计方法。此外，借助于仿真软件，显示了将一个区域的一个形状映射到另一个区域的相同形状的时移和频率调制参数的影响。

关键词：偏移分数傅里叶变换、卷积定理、相关定理、乘法滤波器

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文章历史：

收到2015年4月13日

接受2015年10月26日

1 概述

偏移分数傅里叶变换 (OFRFT) [12] 类似于原始的分数傅里叶变换，除了存在两个额外的参数和，分别对应于时域移位和频率调制。它是一种有用的数学工具， 广泛应用于频谱分析、信号处理和光学系统分析。它的两个额外参数比分数更灵活。众所周知的转换， 如傅立叶变换 (DFT) ^[3-5]， 抵消英尺 ^[12]， 分数 ^[6-12]， 移和缩放， 调频和其他可视为特殊情况下的 OFRFT。因此， 通过建立 OFRFT 的卷积和相关定理， 得到了上述所有变换的统一卷积和相关定理。卷积和相关运算在线性时不变系统理论中是基本的^[10、13]。通过输入信号的卷积和系统冲激响应， 得到了任意连续时间线性系统的输出。换言之， 两个信号的卷积的傅里叶变换是各自信号的傅里叶变换的点明智乘积。相关， 类似于卷积， 是另一个重要的操作在信号处理， 以及在光学， 模式识别， 特别是在检测应用 ^[14-16]。两个函数中的一个做轴反转运算后 ^[17]，产生了相关性。分数的卷积和相关操作在几年前就已经提出^[17–31]。然而， OFRFT 的卷积和相关运算仍然未知。具体而言， 分别给出了和的与相关的和的信号的卷积定理：

(1)

'otimes;' 指的是传统的卷积运算，例如：

(2)

这个定理阐明了一个强大的结果， 即两个信号在时域中的卷积导致了它们在频域中的简单乘法。文献[20] 中给出的分数的卷积定理缺乏 (1) 中给出的关系， 所以卷积运算的结果是：

(3)

表示信号的分数。在 1998年，Zayed^[21]和在2006年，Deng et al.^[22]等人， 提出了分数域卷积定理的不同定义， 并且这些需要三种线性乘法来评估定义的卷积积分。已记录的卷积操作如下定义：

(4)

在三年后2009年， Wei et al. ^[23]推导出了分数域卷积定理的新表达式，但在时域中定义的广义卷积运算，不仅依赖于时间变量，而且还依赖于变换域变量 “lsquo;rsquo;。定义的卷积操作如下：

(5)

其中，定义信号的广义平移。尽管Wei et al. ^[25]和Shi et al. ^[28，29]推导出的卷积定理，说明在时发生FT转换，但FRFT域中的乘法滤波器由于在变换域中存在FT而无法实现。最后在Shi et al. ^[30，31]中提出了2012年FRFT和LCT的广义卷积定理，其中在文献[21,28,22,24,27]中独立导出的卷积定理是这些广义定理的特殊情况。虽然在 [27] 中导出的卷积定理的结果，与所提出的卷积定理的结果一致，但在本文的其余部分，除了卷积定理的导出结果之外，作者还导出了相应的乘积定理、相关定理，并给出了仿真比较。此外，作者还证明了 OFRFT 域中具有卷积的乘法滤波器的计算复杂度可以简化为FFT的计算复杂性，同时也给出了乘法滤波在OFRFT域中的应用。此外，在 文献[24，26]中推导出的卷积和相关定理在中产生傅立叶变换，并且由一维积分可用，易于实现。为了验证所提出的定理的结果，本文试图在它们之间建立一个仿真比较。

其余的文件组织如下：第2节对OFRFT及其特殊情况作简要的回顾。第3和4节推导了OFRFT的卷积和相关定理。在5节中，基于OFRFT域中乘法滤波的模型，提出了一种实现时域乘法滤波的实用方法，并结合实例，给出了利用所提出的定理，对OFRFT 域中的信号进行滤波的结果。第6节给出了仿真结果及移和调频参数的影响，最后给出了7节的结论。

2 偏移FRFT

OFRFT允许转换/平移，旋转和压缩的信号，相比只能旋转的情况下，更适应在一个固定的窗口。信号的参数的一维OFRFT的积分形式被定义为： (6)

其中，参数是实数，是旋转角度。是OFRFT的序列, 当，然后，并且不等于2的倍数。代表整体内部分, 定义如下：

(7)

其中，。具有参数的OFRFT的逆运算的积分形式由下式给出：

(8)

其中表示整体内核部分的复数共轭。 OFRFT的两个基本性质是可加性和可逆性^[1]。

属性1 可加性

(9)

其中，

(10)

(11)

(12)

表1 OFRFT的特例

图1 OFRFT新的卷积操作

属性2 可逆性

(13)

OFRFT的一些特殊情况在表1中给出，这些情况可以通过替换参数的具体值来容易地验证。

3 提出卷积变换

OFRFT的卷积定理的拟议定义如下：

定理1 卷积定理

如果是的OFRFT，是的OFRFT，则：

的OFRFT为：

(14)

是加权卷积运算，权重函数是，并且h和f的作用可以互换。 基于传统的卷积运算“”，新的卷积运算“”可以表示为：

(15)

其中， 是线性系统的脉冲响应, 并基于传统的卷积算子, 在图1中显示了OFRFT的新卷积运算的实现。

证明

g (t) 的一维OFRFT为：

(16)

其中，被命名为OFRFT的算子，是 OFRFT 内核。给出卷积定理的新定义：

替换公式 (16) 结果中的值，得到：

(17)

重新调整公式（17），结果为：

(18)

替代即在公式（18）中，然后 ^{[ 32 ]}，然后用替换，结果如下：

(19)

特别重写，结果如下：

(20)

按公式（20）中的 相乘、划分，然后重新整理，结果如下：

替代公式（21）在公式（19）中的值，结果如下：

按公式（22）中的 相乘、划分，然后重新整理，结果如下：

(25)

这只是在OFRFT下的卷积定理的一种新方法。因此得到公式（14），且证明了定理。

FT作为OFRFT的一个特殊情况下， 当,公式（25）变成：

(26)

商公式(24)和公式(25)是OFRFT的一些特殊情况。下面是所提出的卷积定理所满足的一些性质。

交换率：

相加率：

分配率：

推论1乘积定理

对于任意两个函数和，给出了OFRFT的乘积定理的定义：

并且

(27)

证明 证明类似于所提出的卷积定理, 因此此处被省略。

4 相关定理的拟变换

定理2 交叉相关定理

如果是的OFRFT，是的 OFRFT, 则

是的OFRFT，例如：

(28)

在时，是加权互相关和权重函数，且和的角色可以互换。“”表示建议的相关操作。

证明

的一维OFRFT为：

(29)

从定义的互相关联定理，重新定义公式（29）的结果：

(30)

重新整理公式（30），结果为：

(31)

替代即在公式（31）中，然后 ^{[ 32 ]}，然后用替换，结果如下：

(32)

特别重写，结果如下：

(33)

按公式（33）中的 相乘、划分，然后重新整理，结果如下：

(34)

替代公式（34）在公式（32）中的值，结果如下：

(35)

按公式（35）中的 相乘、划分，然后重新整理，结果如下：

(36)

这只是在OFRFT下的卷积定理的一种新方法。因此得到公式（28），且证明了定理。

推论2自相关定理

如果是的OFRFT，则：

是的OFRFT，

(37)

是加权自相关函数时，权函数为n。

5 OFRFT 域中的乘法滤波

在本节中, 讨论了OFRFT域中的乘法滤波,并证明了导出的卷积结构在滤波器设计中易于实现。基于OFRFT域上的乘法滤波模型，提出了一种在时域上实现具有卷积的OFRFT域乘法滤波的实用方法。该方法可以用经典FFT实现, 与 OFRFT域的方法相比具有相同的性能。由于可以通过FFT进行卷积, 在时域上具有卷积的OFRFT域乘法滤波器的计算复杂度可降低到FFT的计算复杂度。在本节的第二部分,借助一个实例, 给出了最优滤波在 OFRFT 域中的应用。

图2 OFRFT域的乘法滤波器

5.1 具有时域卷积的 OFRFT 域乘法滤波

OFRFT域中的乘法滤波器模型如图2所示。许多论文讨论了使用分数设计的滤波器, 线性正则变换（LCT）和偏移LCT ^{[8，9，22，23，26，27，33–37]}, 以消除失真或噪音。此处讨论了OFRFT 域乘法滤波器的设计方法。让接收信号包括所需信号和噪声，例如:

然后，

(38)

当是的OFRFT。通过设计，可实现多种滤波器模型如低通、高通、带通、带停止等。如果和分别是所需信号和噪声的OFRFT分量，没有重叠或最小重叠，则可以恢复所需的信号, 并在很大程度上丢弃噪声, 从而通过 OFRFT 域中的滤波器提高信噪比 (SNR)。例如, 如果仅在OFRFT的频谱区域内，期望信号是很重要的，然后根据定理1，该滤波器的传递函数是：

(39)

这样是恒定的，且在内，并且为零或在该地区之外的快速延迟。通过反OFRFT，可以得到所需的信号。让我们考虑一个例子，其中接收信号包括期望信号，噪声信号和也存在。接收信号的时间-频率分布^[8]如图3所示。

图3 接收信号的时间-频率分布

FRF与时频分布之间的关系^[8],描述了时域和频域之间的期望信号和噪声之间应该存在更大的重叠，而OFRFT域中的重叠较少。对于的不同值，可以实现如图3所示的通带（，）的不同斜率。而且可以通过时频平面中的两个连续滤波器操作，完全滤除噪声，从而保持期望的信号不失真。OFRFT域中的乘法滤波操作也可以通过时域卷积来实现。参考公式（15），OFRFT域中乘法滤波器，在时域中卷积的输出，可以表示为：

(40)

当

(41)

是在OFRFT的反OFRFT。如图4，给出了在时域卷积的 OFRFT 域中实现乘法滤波器的方法。在计算复杂度和实际应用方面, 图4所示方法的性能优于图2。在前一种方法中, 主要的计算负载是可以由经典FFT完成卷积, 而后者则需要计算离散OFRFT两次, 然而目前尚无满意的快速

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