剖析课程推理：根据教学指示

对中学教师的推理进行考察

概要：在确定在数学课堂中学生是否有机会学习时，数学教师是重要的研究内容。有很多因素和原因会影响教师的教学指示。因此，教师在很大程度上通过他们的课程思考（CR）来决定要教的内容，教授这些内容的方法以及用来帮助学生学习的任务。在本文中，我们概述了五条关于课程推理的线索，这些是根据研究中学数学教师在面对不熟悉的课程时，计划和实施的教学得到的。这些线索为我们的课程推理金字塔模型奠定了基础，并提供了一个可以进一步理解和增强教师决策的视角。

关键词：教学活动和实践；课程制定；教学前景

数学老师是创造学习环境的重要部分，这些环境为学生提供了学习重要的数学的机会，并有助于发展学生的数学知识。数学老师最重要的任务之一是规划和制定教学方法—数学教学的内容和方式。图1（Mathis，2019年改编自Stein，Smith和Remillard，2007年）突出显示了在教学过程中形成整体数学课程的许多教学决定。尽管教师在教学过程中会做出许多决策，但我们专注于数学决策，定义为影响学生学习数学的机会的决策以及教师做出这些决策的推理）。

计划过程中的教师决策

实施过程中的教师决策

未来课程的教师决策

编写课程

目的课程

制定课程

学生

学习

图1:教学过程及教师影响学生的决策学习的机会

(Mathis，2019年改编自Stein等人，2007年)

研究人员试图确定教师的隐含决策与可能影响教学过程的因素之间的联系（Bush，1986; Graybeal，2010; Nicol＆Crespo，2006; Remillard，2000; Stein＆Kaufman，2010），但很少研究老师做出决定的原因。这些因素不是教师做出决定的原因，但是是影响或关联教师隐含决策的内部（例如，数学知识，以前的经验）或外部（例如，专业发展，教科书）因素。相反，教师推理是他们做出决定的自我判断。斯坦因和考夫曼（2010）指出，教师在教学过程中会根据学生获得的学习机会做出隐含决策。作者调查了为学生提供的学习机会和教师的能力（例如，教师经验，教师教育，专业发展）相关，还是和教师对课程的使用相关。斯坦因和考夫曼（2010）发现，教师对大数学思想（即隐性决策）的关注与教师所使用的不同课程（即因素）有关，这与学生的学习机会高度相关。这些数据表明，教师在课程中对重大数学思想的决策影响了学生学习数学的机会。但是，我们不知道为什么有些老师选择专注于一堂课中的大数学思想，而另一些则没有，即老师做出决定的原因导致了不同的学生学习机会。

其他研究人员明确研究了在教学过程教师的决定及其推理；然而，他们只是假设了自己认为的会影响教学过程的特定因素或教师做出决定的原因，而不是考虑所有潜在因素或教师做出决定的原因来深入了解教师的决定。Choppin（2011）假设教师对资源的理解和对学生思维的关注会影响教师对他们如何使用课程资料的决定；然而，在某些情况下，可能还有其他因素或教师原因，更加影响教师使用课程资料的方式。研究人员发现了许多不同的因素或教师原因，这表明如果我们不考虑所有因素或教师原因，我们可能无法充分理解教师在教学过程中做出的数学决策。

在整个教学过程中，有如此广泛的影响教师决策的因素和教师原因，因此我们认为教师原因与他们的课程推理(CR)有关——定义为教师在计划和实施数学课程时参与和使用的思维过程。本文的目的是提出一个框架来描述数学教师的教学推理。我们通过定义和呈现了五种教师思维过程，我们称之为课程推理链。然后，我们认为需要修改教学三角形(Cohen, Raudenbush amp; Ball, 2003)，通过添加第四维度来生成教学金字塔。最后，我们提出五个CR链与教学金字塔的关系和CR链在教师数学决策方面的相互关系。

背景

作为由美国国家科学基金会(NSF)资助的项目(# 1561542,1561554,1561569,1561617)的一部分，在教学过程中研究教师的数学决策和他们的推理,我们基于8年级数学教师教一个单元的几何变换(反射、平移、旋转和变换序列) 开发了我们的框架。历史上，几何变换的主体都包含在高中几何课程中；然而，随着通用核心国家数学标准(CCSSM)的广泛采用，这一内容被移至8年级(Tran, Reys, Teuscher, Dingman amp; Kasmer, 2016)。此外，CCSSM的作者使用几何变换来建立同余的定义，这种方法在过去的标准和中学教科书中很少使用。

我们为项目中的教师提供了芝加哥大学的数学项目(UCSMP)几何课程(Benson et al.， 2009)作为他们的教学决策的基础。选择这门课程有两个原因:(1)它与8年级的CCSSM中发现的几何变换方法相一致;(2)在学习中教师对他们不熟悉。因此，我们的目的是确定教师在教学过程中的数学决策和在计划这些不熟悉的课程材料(UCSMP)与制定对于他们年级是新的几何转换单元的时候所展示出来的推理。

CR链

老师推理他们的决定和反思可以分为五个CR链。也就是说，我们确定了教师在教学过程中做数学决策时使用的五种关键思维过程。这些链是从学习者的角度看待数学，绘制学习轨迹，考虑数学意义，分析课程材料，和修订课程材料。其中三条链——从学习者的角度观察数学，绘制学习轨迹，修订课程材料是基于先前对CR的研究(Roth McDuffie amp; Mather, 2009;Breyfogle, Roth McDuffie amp; Wohlhuter, 2010)，而剩下的两条链是通过对我们的数据进行开放编码确定的。下面我们定义了每一个CR链，并提供了一个例子来演示教师的决定和他们对特定CR链的推理。下面的采访摘录为参与研究的教师使用了假名。

从学习者的角度看数学

当教师做出决定或反思时，教师会思考学生将如何看待和理解这节课的数学。这种思维过程就是从学习者的角度来看待数学，定义为教师通过学生解释的角度来讨论课堂上的数学内容。这一CR链的具体指标是当教师在课堂中思考数学的具体细节时，采用了以下之一:(a)预测的(实际的)学生对数学的解释;(b)对学生在数学方面将做的（已做的）的预测（实际）领域或评估学生的理解;(c)预测的(实际的)学生误解。这种推理使老师能够清楚地表达出学生感知到的数学需求或数学知识。从实用的角度来看,这个CR链通常由老师在考虑学生们利用的先验知识、学生对其他学生的思维的反应、学生的需求或困难、学生访问本课中数学的入口点或学生预期在本课中对数学的思考时使用。

为了说明这个CR链，我们使用以下摘录，其中Helen提供了她对反思的定义如何帮助她的学生的推理：

Helen：我认为这有助于他们认识到这种模式，以及为什么会有这些模式。这也帮助了他们，回到了“定向”这个词hellip;hellip;以及它是如何影响有序对的。

在对这节课的反思中，海伦思考了这节课的教学如何，即反思的定义和方向的概念，如何帮助她的学生在跨坐标轴上的不同坐标轴反射的情况下识别并概括模式。在这一点上，她从学生对帮助他们在课程中取得成功的看法的角度来考虑这堂课。

绘制学习轨迹

另一个CR链与关于教师如何规划课程的教师推理有关，要么是直接上课，要么是跨学年的单元或跨课程。我们将这种思考过程称为绘制学习轨迹，并将其定义为教师考虑数学概念如何在一节课中展开，或讨论当前课程的数学主题如何与学生过去或未来学习的数学主题相联系。这一CR链的具体指标是教师的推理:(1)一节课中的数学概念或技能如何与过去或未来的数学内容相联系(没有联系);(2)概念或技能如何在一节课或一个单元中展开。因此,学习轨迹的想法可以是短期的,教师可以根据这一点来考虑一天的课程将如何进行，或是对给定的几何变换课程单元进行排序，也可以是长期的展望,老师设想在给定的年纪或跨多个年级的课程中，这些课程将如何与所教授的数学内容相联系。

为了说明这个CR链，在下面的摘录中，吉尔分享了她翻译课成功的相关推理。

采访者:你觉得你的工作总体上就像你希望的那样促进了学生的学习吗?为何如此?

Jill:是的，我觉得是的。这让孩子们可以探索反思的构成以确定翻译是什么，然后我们讨论翻译的属性以及保留哪些，然后他们就开始练习。所以，我觉得它确实，做了我希望它做的事。

在她的回答中，Jill解释了绘制学习轨迹的短期性质，在学生尝试翻译图形之前首先关注翻译及其性质，从而研究课程顺序如何帮助支持学生的学习。

考虑数学意义

数学知识在教学艺术中的作用是基本的，而这些知识在计划和实施教学中起着至关重要的作用 (Ball, Thames， amp; Phelps2008)。考虑数学意义这一CR链被定义为教师对本课中数学的数学意义的理解，或预先的学生数学意义的表达，将在课程结束后有所发展。该CR链的具体指标有:(1)教师在数学课上表达自己的数学意义，可以是正确的，也可以是错误的；(2)教师表明了学生在课堂上应该学习的数学知识。这个CR链不同于从学习者的角度看数学，因为考虑数学意义链是从教师的角度出发，关注的是教师认为学生应该知道的东西，而从学习者的角度看数学则源于学生的观点——他们的误解，他们对任务的解释，以及他们潜在的思维方式。

在下面的节选中，Judy用她的数学意义来解释反思和旋转之间的关系:

采访者：除了等距离的概念外，你还看到反射和旋转之间的联系了吗?

Judy：hellip;hellip;这就是相等的距离，但相等的形状还在那里。我的意思是，就像我在第二阶段讲的那样，他们现在仍然这么说。但是我不知道——除了它们相同，距离相等之外，我不确定还有什么其他的可以比较。

在这个回答中，Judy用她的话来解释连接反射和旋转的属性。在UCSMP课本中，旋转被看作是交叉线的两个反射的合成(例如，笛卡尔坐标系第一象限的原像在x轴上反射，然后在y轴上反射，结果会得到围绕原点旋转180°的相同图像)。此外。反射和旋转之间的联系有助于突出这两种变换所共有的特性。由于这不是许多教科书传统上采用的方法，Judy分享了她的距离保持性质的数学意义，但没有讨论这两种变换所共有的其他性质(例如，保持角度度量、点的共线性)。

分析课程材料

当老师们对数学课作出决定时，他们通常会使用教科书、在线资源或其他辅助材料。这些课程材料，被定义为“印刷或电子，经常出版，供教师和学生在数学教学之前、期间或之后使用而设计的材料”(Stein, Remillard， amp; Smith, 2007, p. 232)，帮助组织并为学生创造学习机会。分析课程材料是指教师通过将课程材料与其他材料进行比较，分析潜在的优点和缺点，并详细说明不同的方法来对课程材料进行推理。教师运用这一CR链进行推理的具体指标是:(1)对课程进行分析，指出课程中不适合或可能改变的吸引人的特点或组成部分；(2)比较两种或两种以上的课程，思考这些材料是如何提供主题的覆盖，主题是如何排列的，或者教师在实施课程时喜欢的活动。在我们的分析中，我们将标准文件，即CCSSM，和州评估纳入了我们对课程材料的定义中。鉴于CCSSM在确定特定年级教学内容方面的重要作用以及国家授权评估的突出地位，这些形式的课程会影响教师的决策，并在教师的课程推理中发挥关键作用。

为了说明这个CR链，我们分享了Ava的一个回应，她使用了连接数学项目(CMP3)( Lappan, Phillips, Fey, amp; Friel, 2014)作为地区采用的教科书。考虑到她对CMP3课程的偏好，Ava被要求比较CMP3和UCSMP的材料，被给予了几何变换单元的规划任务。

Ava:我喜欢他们(UCSMP)创造自己的数字;CMP只是给了他们一面旗帜，让他们反射它。所以我喜欢从一张白纸开始，做他们自己的事情。

Ava之所以选择分析课程材料，是因为她对两种课程材料进行比较，并探讨了她所喜欢的两种课程的特点。在随后的数据收集中，Ava继续将UCSMP的材料与她通常在CMP教授的内容进行对比，显然，她对她更熟悉的课程更有好感。

修改课程材料

最终的CR链涉及到一个反复思考的过程，即反思一个人的实践，并改变课程的某些部分，以便改进实施或修改未按照计划进行的课程的某些部分。修改课程材料课程推理链定义为一个老师根据以往的教学经验考虑对课程进行修改和改变。但是,这表明了老师和课程材料之间的动态关系,老师会根据课程推理来改变基于经验的课程。

在下面的节选中，向Tracy询问了她计划的下一节课，但基于前一节课上的相同课程的情况，她对自己的方法进行了反思。

采访者:你希望解决所有问题吗?

Tracy:(笑)当然，但是现在我说，不!我的意思是我hellip;hellip;没有。所以现在我得决定hellip;hellip;

采访者:所以如果你必须决定哪些你要跳过或省略，你会怎

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