Parametric studies on sloshing in a three-dimensional prismatic tank with different water depths, excitation frequencies, and baffle heights by a Cartesian grid method

This paper aims to numerically investigate violent sloshing in a partially filled three-dimensional (3D) prismatic tank with or without a baffle, further to clarify the suppressing performance of the baffle and the damping mechanism of sloshing. The numerical model is based on a Cartesian grid multiphase flow method, and it is well validated by nonlinear sloshing in a 3D rectangular tank with a vertical baffle. Then, sloshing in an unbaffled and baffled prismatic tank is parametrically studied. The effects of chamfered walls on the resonance frequency and the impact pressure are analyzed. The resonance frequencies for the baffled prismatic tank under different water depths and baffle heights are identified. Moreover, we investigated the effects of the baffle on the impact pressure and the free surface elevation. Further, the free surface elevation, pressure and vortex contours are analyzed to clarify the damping mechanism between the baffle and the fluid.

1. Introduction

Liquid sloshing of partially filled tanks are of great concerns to the structural design of carrier vessels such as Liquefied Natural Gas (LNG) ships and Very Large Crude Carriers (VLCC). Especially with the increasing demand for ocean oil and gas resources, the navi- gation safety of the liquid cargo carriers becomes growingly important. When a liquid cargo carrier shuttles in the rough sea, violent free surface sloshing inside the liquid tank can occur, creating large impact loads on the tank walls. The situation be- comes worse, when the excitation frequency is close to the natural frequency of the sloshing system. The highly localized impulsive load induced by resonant sloshing waves can cause structural damage to the tank walls. Moreover, the global forces and moments can affect the navigation stability of the carrier, even leading to carrier capsize. Therefore, investigating the fundamental physics of resonant sloshing, predicting the resonance frequency and the generated high impulsive pressure are of great significance to the operation safety of the vessels and should be considered in the design of the tank systems.

Liquid sloshing is a highly nonlinear, transient, and random flow phenomenon, attracting many interests of the academic field. Since the late 1970s, tremendous studies on the liquid sloshing have been performed by the experiments, the theoretical analyses and the numerical methods. Faltinsen and Timokha (2009) provided comprehensive reviews of liquid sloshing in the field of ocean en- gineering. Faltinsen et al. (2003); Faltinsen and Timokha (2001, 2002) conducted extensive studies on the linear, nonlinear, two- dimensional (2D) and three-dimensional (3D) sloshing in a rect- angular tank by the multimodal and asymptotic modal approaches. However, the theoretical analyses are limited to the regular shape tanks. Moreover, viscous effects cannot be considered because of the ideal fluid assumption. In contrast, the experiment has always been a reliable and useful tool for the sloshing prediction. For example, Panigrahy et al. (2009) experimentally predicted the pressures on the tank walls and the free surface elevations under different filling levels in a horizontal excited tank. Grotle et al. (2017) studied sloshing mechanism in a rotational excited rectan- gular container under different excitation frequencies and filling levels. Despite extensive experimental studies have been con- ducted for complex sloshing phenomena such as resonant sloshing(Pirker et al., 2012), sloshing in a membrane-type LNG tank (Yu et al., 2017), sloshing absorber (Cavalagli et al., 2017), highly viscous liquid sloshing (Jin and Lin, 2009), the experiments are time-consuming and cost-expensive. Moreover, scaling effects introduce additional errors in the model experiments.

With the significant development of the computer technology and numerical algorithms, the Computational Fluid Dynamics (CFD) techniques become increasingly appealing. CFD techniques are powerful supplements of the experiments to capture small- scale fluid visual details and reveal physical mechanism of various sloshing phenomena such as hydraulic jump, resonance, and energy dissipation. Also, many CFD models by solving Navier- Stokes equations have been proposed to simulate viscous and highly nonlinear sloshing, challenging in analytic and semi-analytic approaches. Based on the treatment of the fluid-solid interface, grid-based methods (Yang, 2016) and mesh-free methods (Eini et al., 2020) can be classified. For the grid-based methods, it can be further classified into the body-fitted method and the Cartesian grid method (Sotiropoulos and Yang, 2014). Also, in the grid-based methods, interface capturing schemes such as the Level Set (LS) and Volume of Fluid (VOF) methods need to be introduced to capture the free surface. For example, Liu and Lin (2009) simulated 3D nonlinear liquid sloshing in a rectangular tank by the VOF method. Bai et al. (2015) simulated violent sloshing under translational and rotational excitations using the LS method. Liu et al. (2017) simu- lated 3D violent sloshing by the coupled LS and VOF (CLSVOF) method with the Very Large Eddy Simulation (VLES).

Despite many successful studies for the idealized situations, simulating violent sloshing of the irregular shape tank in realistic situations is a challenging task. On the one hand, most aforemen- tioned investigations focused on the sloshing in a rectangular tank, due to the simple treatment of the solid boundary conditions. However, in the engineering practice, the liquid cargo tank is usually non-rectangular such as prismatic and spherical. To treat the irregular shape tank, the commonly used technique is the body- fitted grid method (Windt et al., 2019). Jiang

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附录A 外文译文

用笛卡尔网格法对在不同水深、激励频率和挡板高度的三维棱柱槽中晃动的参数化研究

摘要

本文旨在数值研究部分填充的三维（三维）棱柱形储罐中的剧烈晃动，进一步阐明挡板的抑制性能和晃动的阻尼机理。该数值模型基于笛卡尔网格多相流法，并在带有垂直挡板的三维矩形槽中进行非线性晃动验证。然后，在无障碍和无障碍的棱柱槽中晃动进行了参数研究。分析了倒角壁面对谐振频率和冲击压力的影响。确定了挡板棱柱槽在不同水深和挡板高度下的谐振频率。此外，还研究了挡板对冲击压力和自由表面标高程的影响。进一步分析了自由表面标高、压力和涡流轮廓，阐明了挡板与流体之间的阻尼机理。

1 简介

液化天然气(LNG)船和超大粗提船(VLCC)等运输船舶的结构设计是一个非常重要的问题。特别是随着对海洋油气资源需求的不断增加，液体货船的航行安全变得越来越重要。当液体货船在波涛汹涌的海面上穿梭时，液体罐内会发生剧烈的自由表面晃动，对罐壁产生巨大的冲击载荷。当激励频率接近晃动系统的固有频率时，情况变得更糟。谐振晃动波引起的高局域脉冲负载会对罐壁造成结构损伤。此外，全局力和力矩会影响航母的导航稳定性，甚至导致航母倾覆。因此，研究谐振晃动的基础物理，预测谐振频率和产生的高脉冲压力对容器的运行安全具有重要意义，应在油箱系统的设计中加以考虑。

海宁，吸引了许多学术领域的兴趣。自20世纪70年代末以来，通过实验、理论分析和数值方法，对液体的晃动进行了大量的研究。法尔廷森和蒂莫卡（2009）对海洋工程领域的液体晃动进行了全面的综述。Faltinsen等人（2003）；法尔tinsin和蒂莫卡（2001,2002）通过多模态和渐近模态方法对矩形槽中的线性、非线性、二维(2D)和三维(3D)晃动进行了广泛的研究。然而，理论分析仅限于常规形状的储罐。此外，由于采用了理想的流体假设，因此不能考虑粘性效应。相比之下，该实验一直是一个可靠和有用的晃动预测工具。例如，Panigrahy等人（2009）实验预测了水平激发罐中不同填充水平下罐壁的压力和自由表面的海拔高度。Grotle等人（2017）研究了在不同激发频率和填充水平下的旋转激发矩形容器中的晃动机制。尽管对复杂的晃动现象进行了广泛的实验研究(Pirker等人，2012年)、在膜式液化天然气储罐中晃动(Yu等人，2017年)、晃动吸收器(卡瓦alagli等人，2017年)、高粘性液体晃动(Jin和Lin，2009年)，这些实验耗时且成本昂贵。此外，尺度效应在模型实验中引入了额外的误差。

随着计算机技术和数值算法的重大发展，计算流体动力学(CFD)技术变得越来越有吸引力。CFD技术是实验的有力补充，以捕捉小尺度流体的视觉细节，并揭示各种晃动现象的物理机制，如液压跳跃、共振和能量耗散。此外，许多通过求解导航斯托克斯方程的CFD模型已经被提出来模拟粘性和高度非线性的晃动，这在分析和半分析方法中具有挑战性。基于流体-固体界面的处理，可以对基于网格的方法(Yang，2016)和无网格的方法(Einietal.，2020)进行分类。对于基于网格的方法，它可以进一步分为身体拟合法和笛卡尔网格法(索蒂罗普洛斯和Yang，2014)。此外，在基于网格的方法中，需要引入界面捕获方案，如液位集(LS)和流体体积(VOF)方法，来捕获自由表面。例如，Liu和Lin（2009）用VOF方法模拟了矩形储槽中的三维非线性液体晃动。Bai等人（2015）使用LS方法模拟了平移和旋转激励下的剧烈晃动。Liu等人（2017）采用LS和VOF(CLSVOF)耦合方法，采用甚大涡模拟(VLES)模拟三维剧烈晃动。

尽管对理想情况的研究有许多成功，但在现实情况下模拟不规则形状坦克的剧烈晃动是一项具有挑战性的任务。一方面，由于对固体边界条件的简单处理，前面提到的大多数研究都集中在矩形槽中的晃动上。然而，在工程实践中，液体货罐通常是非矩形的，如棱柱形和球形。为了处理不规则形状的储罐，常用的技术是身体拟合网格法(Windtetal.，2019)。Jiang等人（2015）使用OpenFOAM研究了两个棱柱形储罐中船舶运动和晃动冲击载荷之间的晃动耦合效应。同时，还研究了谐振频率及其发生力矩对全球船舶响应的影响。Zhao和Chen（2015）采用超置网格法预测了三维膜式LNG储罐在不同水深下的冲击压力。此外，还观察到剧烈的晃动现象，如波打破、射流公式和气体捕获。然而，车身拟合网格方法处理多自由度激励和具有内部结构的坦克具有挑战性。一个有吸引力的替代方法是笛卡尔网格方法(索蒂罗普洛斯和Yang，2014)，其中背景笛卡尔网格应用于整个计算领域。例如，Kim等人（2014）引入了缓冲区的概念，以处理3D棱柱槽晃动中的倒角边界。他们发现，有倒角的棱柱形储罐比没有倒角的储罐承受着更大的脉冲压力。Lee等人（2011）引入了一种二次多项式近似方案来加强倾斜壁和挡板上的无滑移边界条件。晃动压力与以往的实验结果吻合较好。

另一方面，由剧烈的共振晃动引起的极其巨大的冲击压力可能会危及船舶的航行安全。为了避免剧烈的晃动，一个有效的策略是在油箱内安装晃动吸收器，如挡板。对挡板对晃动幅度的抑制性能和耗散机理进行了多次数值研究。例如，Cao等人（2014）通过平滑粒子流体动力学(SPH)方法模拟了有或没有挡板的二维或三维矩形槽中的剧烈晃动。Hu等人（2019）通过SPH和平滑点插值法(SPIM)研究了弹性挡板与晃动流的相互作用。相比之下，关于身体拟合网格法，Eswaran等人（2009）通过自动动态增量非线性分析(adina)软件，在正弦水平激励下，在有或没有挡板的立方储罐中晃动进行了数值研究。此外，参数研究的挡板配置，激励频率和填充水平被检查。Jung等人（2012）数值研究了垂直挡板对三维横向移动矩形槽中晃动压力和振幅的影响。结果表明，当挡板高度与初始液高之比大于0.3时，不会发生屋顶冲击，当该比值大于0.6时，不会出现两个连续的压力峰。

另外，在笛卡尔网格方法方面，Wu等人（2012）采用了一种时间无关的有限差分方案，利用虚拟单元技术模拟了一个带有表面穿孔挡板或底部安装挡板的二维矩形槽中的完全非线性晃动。同时，通过研究不同水深下最低固有频率变化的挡板高度的变化规律，推导出了一些经验公式。Akyildiz（2012）结合VOF方法和虚拟单元技术，模拟了具有垂直挡板的二维矩形储罐的非线性晃动。Xue等人（2012）将虚拟边界力(VBF)方法与VOF方法相结合，模拟了不同挡板布置下在三维矩形槽中的晃动。结果表明，水平的、穿孔的垂直挡板及其组合挡板不仅能显著抑制晃动幅度，而且还能改变晃动系统的固有频率。Lu等人（2015）通过计算拉格朗日-欧拉平流重映射流体体积（clear-VOF）方法，模拟了有或没有挡板的矩形储罐中的液体晃动。结果表明，由于挡板的耗散效应，谐振振荡响应最终会被阻尼。此外，谐振频率和振幅受挡板宽度和位置的影响很大。Chu等人（2018）结合大涡模拟(LES)模型和VOF方法，模拟了具有多个垂直挡板的二维矩形坦克中的剧烈晃动。研究了挡板数、挡板高度和激励频率对脉冲荷载的影响。结果表明，随着挡板高度的增加，波幅和晃动载荷减小，而当挡板高度与水深之比超过0.75时，减小效果减弱。

虽然前面提到的许多数值研究都致力于在带挡板的矩形坦克中的晃动，但在带有挡板的三维棱柱形坦克中的剧烈晃动很少被研究。此外，据我们所知，预测三维无障碍或无障碍棱柱槽的共振频率尚未在文献中报道。模拟这一现象，阐明挡流板与流体之间的水动力相互作用机制。本文参数研究了在垂直底部挡板的滚动激励下三维棱柱形罐的剧烈晃动。我们打算预测不同水深和挡板高度下的共振晃动现象，并识别共振频率。同时，还讨论了挡板对谐振频率和冲击压力的影响。进一步阐明了挡板抑制剧烈晃动的水动力机理。此外，还捕捉到了水力跳跃、负压面积、涡旋脱落等混沌晃动现象。此外，本研究的重点是全球流体运动，忽略了一些局部效应，如湍流和可压缩性。然而，目前模型合理且可靠，因为湍流和可压缩性对压力分布和波形有次要影响（Akyildizetal.，2012；Lee等人，2007）。此外，湍流模型的选择是一个有争议的研究问题(Godderidgeetal.，2009)。

该数学模型在第2节中给出。第3节介绍了数值求解器，包括Navier-Stokes(N-S)方程的数值解、固体边界处理、自由表面的捕获和数值验证。第4节对有挡板的棱柱槽的晃动进行了参数研究。在第5节中，得出了结论。

2.数学模型

2.1 N-S方程

晃动流由不可压缩的两相N-S方程控制，包括连续性和动量方程。以向量形式存在的三维N-S方程被写为：

u是三个方向的流体速度矢量，p是压力，r是密度，m是动态粘度系数，t是时间，f是水平集函数区分两个不可压缩流体，N是固体表面的向外法向量，U是整个计算域和G是固体表面。考虑了表面张力效应，fs为表面张力，s为表面张力系数，k为界面曲率，n为流体-气体界面的法向量，d为离散函数。水箱的多自由度运动。这种身体外力表示为：

其中，g、V、U分别为重力加速度、运动坐标系中的平移速度和旋转速度。randR分别是一个网格节点在计算域和旋转原点上的坐标向量。

2.2 GALS方程

在本研究中，采用GALS方法(Naveetal.，2010)，其中水平集函数及其梯度向量同时演化，以捕获具有全局三阶分辨率的自由曲面。GALS方程表示为：

其中为带有的梯度向量，x为背景笛卡尔网格上的坐标向量，和分别为梯度变形矩阵和速度变形矩阵。

为了区分可变的流体特性，每个网格单元的密度和粘度在整个计算域上的密度和粘度定义。因此，实现了两相界面周围不连续流体性质（密度和粘度）的平滑转变。

1. 数值求解器

3.1 N-S方程的数值解

本文采用时间半隐式有限差分法求解交错笛卡尔网格上的N-S方程。对流项和扩散项分别采用Roe的通量差分分裂方法离散，该方法分别采用高阶总变化递减单调上流中心守恒律法(TVD-MUSCL)和中心差分法。采用分数阶步进法解耦了压力和速度。时间推导项由TVD二阶朗格-库塔(TVD-rk2)方案和克兰克-尼科尔森方案进行积分。在等式中的速度狄利克雷和压力诺伊曼边界条件采用目前的鬼影单元方法实现了（3），以满足无滑移边界条件。更多细节见参见(Shietal.，2019)。

3.2 固体边界处理的幽灵细胞方法

本研究采用统一的八点重建方案的鬼影单元方法，考虑了不规则边界和挡板对晃动流的影响。我们使用一个三线性插值方案来计算在鬼影单元处的变量值。为了避免外推，引入了镜像点(MP)的概念，将鬼细胞镜像到沿体表面向外法向量的流体域。为了计算镜像点处的流体变量，采用了统一的8点重建方案。关键是用对应的边界点(BP)替换属于幽灵单元的模板点，以保留八点格式，如图1所示。因此，可以避免使用各种插值模板。然后，可以根据镜像点值满足一个镜像条件来计算鬼影单元格值。当控制方程在整个计算域上用标准的七年中心差分格式求解时，隐式满足边界条件。详情请参考Xin等人（2020年）。

3.3 GALS方程的数值解

在GALS方法中，通过增加梯度方程来提高界面描述的精度。在数值解之前，我们将GALS方程改写为特征形式，将偏微分方程转化为常微分方程：

要解决等式问题（7），特征曲线方程采用Shu-OsherRK3格式求解，从时间进行反向积分，以确定特征位移。用埃尔米特三次多项式格式插值了LS函数及其在点处的梯度。其次，使用LS更新新时间步长中的LS函数函数在点处，因为LS函数沿特征曲线是恒定的。同时，通过显式梯形格式沿特征曲线进行前向积分，求解梯度方程，得到梯度向量。注意，水平集函数的一阶和二阶导数是通过微分埃尔米特插值方案进行解析计算的，以避免插值误差。此外，我们使用几何重初始化程序和识别校正技术(Xinetal.，2019)来处理具有小液滴的强变形界面。Xin等人（2019年）介绍了实施的进一步细节。

图1.为M所设计的三维插值模板

3.4 数值验证

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