英语原文共 497 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

工程中的振动问题

第三章. 具有可变弹簧特性的系统

27.可变弹簧特性的例子。在前几章中，考虑了弹簧刚度随位移变化的问题。在这里，我们将讨论弹簧特性随时间变化的情况。

作为第一个例子，让我们考虑长为2L的弦AB纵向拉伸并在质心中部承托，如图96。如果x是粒子从其中心位置的一个小位移，则弦中的拉力与此位移相对应是：

（a）

其中S为质点处于静平衡位置时弦的拉力，A为弦的横截面积，E为弦的弹性模量。我们假设，S与(a)式中第二项所表示的拉力变化相比，是非常大的。在这种情况下，第二项可以被证明为S=S，则质点运动方程为: （b）

这种情况下的脉冲特性是由数量2S/L来定义的，只要S保持恒定，(b)式给出了频率和振幅的不完全谐和运动，该运动取决于初始条件。如果粒子的初位移和初速度都为零，则粒子保持在中间位置，即处于稳定的静力平衡位置。

假定某一装置能产生一个稳定的、小的周期性的拉力波动，使得

由于S总是足够大，在这种情况下，方程(b)继续成立，我们得到了一个系统，其中弹簧特性2S/L是时间的周期函数。在目前不讨论微分方程(b)的情况下，可以看出，通过适当选择波动张力的频率w，可以建立起质点m的大振动。如图96,b，图96,c所示。第一个曲线表示的是质点m在恒张力S=So作用下自由振动时的位移，因此完整循环需要的时间为第二条曲线表示假定圆频率w=2p的弦的波动张力。可以看出，在周期的第一阶段，当质点m从极值位置移动到中间位置，合力S产生正功时，S的平均值大于S0。在周期的第二阶段，当力S与粒子运动相反时，它们的平均值小于S0。因此，在每半个周期中，拉力S产生的正功是多余的，其结果是振动的振幅逐渐增大。这个结论很容易通过实验得到验证。此外，实验还表明，如果保持频率为w=2p的拉力S的波动，粒子的中间位置就不再是稳定平衡的位置。一个小的偶然性的力量，产生一个初始的位移或一个初始的速度可以开始振动，这将逐渐建立起来，正如上面所解释的。

在图96d情况下，弦上的拉力突然发生变化，所以 （d）

采用与前一种情况相同的推理，可以表明，如图96,d所示，改变张力S将导致粒子产生较大的振动。

在图97中，我们还展示了另一种类似的情况。在竖井上安装一个圆形圆盘AB。轴的旋转是自由的，但它的弯曲是有限的，通过使用nn的导向杆，在图形的xy平面上。轴的大部分长度都是非圆截面，如图所示，因此其在xy平面上的抗弯刚度取决于转动角度。首先假设轴不旋转，并且以某种方式在xy平面上产生横向振动。圆盘将执行简谐运动，其频率取决于轴的弯曲刚度。对于图中所示的轴的位置，弯曲刚度最小，因此横向振动的频率最小。将轴旋转90度，我们将得到在最大弯曲刚度平面内的最高频率的振动。在我们的进一步讨论中，我们将假定这两种主要刚性之间的差别很小，比如说，不大于百分之十。因此，横向振动的最大和最小频率之间的差别也很小，比如说，不大于百分之五。

现在假设轴在横向振动时旋转。在这种情况下，我们得到了一个弹簧特性随时间变化的振动系统，使一个完整的周期在半周的轴。通过使用同样的推理与前面的情况下,它可以表明,在一定的角速度w轴之间的关系和中值p圆频率的横向振动,积极工作将做振动系统,这将导致工作逐步建立横向振动的振幅。如图98中的两条曲线所示。上边曲线为轴横向振动的位移-时间曲线，平均频率为p，下边曲线为假设轴在一个周期的横向振动中完成一次公转，使w=p时轴的抗弯刚度的波动。在图的底部显示了轴的旋转截面与中性轴n的对应位置。可以看出，在一个循环的第一个1/4周期内，当圆盘从极端位置向中间位置移动，轴在圆盘上的反应产生正功时，弯曲刚度大于其平均值，而在一个循环的第二个1/4周期内，当轴的反应抵抗圆盘的运动时，弯曲刚度小于其平均值。观察任何时刻的反作用力与相应的抗弯刚度成正比，可以得出结论，第一个1/4周期内所做的正功在数值上大于第二的1/4周期内所做的负功。这导致在轴的一次旋转中有多余的正功，从而逐渐增加轴的横向振动的振幅。

如果将如图97所示的轴水平放置，则必须考虑重力的作用。假设振动引起的挠度小于圆盘重力产生的轴的静态挠度，则圆盘与轴的非轴的位移总是向下的，并且可以在一个周期内由图99a中从ot轴测量的上曲线的纵坐标来表示。有两种力量作用于阀瓣,(1)恒定的重力和(2)轴在圆盘上的变化的反作用力，在我们的例子中，轴总是向上的。在一个循环中，重力的功为零，因此只考虑轴的反作用力的功。在圆盘切割的前半个周期中，反作用力与运动相反，产生了负功。在周期的后半部分，反应是朝着运动的方向进行，并产生正功。

如果我们像前面一样，考虑轴的一次旋转的时间等于横向振动的周期，并且取与图98 b相同的曲线，对于波动的抗弯刚度，可以看到每周期的总功为零。如果将轴的角速度w取为横向振动频率的2倍，则会得出不同的结论，从而使弯曲刚度的变化可以用图99中较低的曲线来表示。可以看出，在循环的前半部分，当反作用力与运动方向相反时，弯曲刚度小于其平均值;在循环的后半段，当反作用力与运动方向相反时，弯曲刚度大于其平均值。因此，在一个周期内产生的正功将导致振幅的增加。我们可以看到，由于重力和可变弯曲刚度的共同作用，当每分钟轴的旋转数仅为每分钟轴的横向自由振动数的一半时，就会产生较大的横向振动。这种类型的振动可能发生在具有可变弯曲刚度的转子中，例如，在涡轮发电机的双极转子中(图100)。

这种转子在其自身重量的作用下，其挠度在旋转过程中会发生变化，在一定速度下，由于这种变化的柔性，可能会发生剧烈的振动。当转子的弯曲刚度不均匀性是由于轴上开槽造成时，也会发生同样的振动。通过切割两个额外的键槽，与第一个键槽之间的距离为120度，可以得到一个在各个方向上具有恒定转动惯量的横截面，这样就可以消除振动的原因。

作为另一个例子，让我们考虑一个可变长度l的单摆(图101)。通过用S的力拉动绳子，可以产生钟摆长度l的变化。为了得到运动微分方程，将应用角动量原理。运动质量W/g的动量可以分解为两个分量，一个在弦OA方向上，另一个在垂直于OA方向上。在计算关于点O的角动量时，必须只考虑第二个分量等于。角动量对时间t的导数应该等于作用于点0的力矩。因此,方程：

在振幅较小的振动情况下，可以用式(57)中的sin Ɵ代替Ɵ，得到

当l为常数时，该方程左侧的第二项消失，我们得到一个简谐运动，其中g/l代替弹簧常数除以第151页方程(b)中的质量。由于长度l的变化，出现了式(58)中的第二项，其对振动的影响可能与前面例子中讨论的脉动弹簧刚度的影响相同。将等式(58)和等式(26)(参见第33页)进行阻尼振动的比较，我们可以看到，在等式(26)中含有dl/dt导数的项代替了代表阻尼的项。通过适当改变长度L随时间的变化，可以产生与“负阻尼”相同的效果。在这种情况下，系统中能量的逐渐积累而不是能量的耗散，钟摆的振幅随着时间的增加而增加。很容易看出，这种能量的积累是由摆长l变化时拉力S所做的功引起的。可以设想各种改变长度l的方法，从而导致振动系统能量的积累。

以图102为例，其中摆的角速度dƟ/dt和摆长变化的速度dl/dt表示为时间的函数。钟摆长度的变化周期是钟摆振动周期的一半，dƟ/dt线相对于dl/dt线的位置是这样的，即最大负阻尼效应与最大速度一致。这意味着当速度dƟ/dt较大时，长度L必须减少，而当速度相对较小时，长度L必须增加。记住张力S正在对径向分量的重量W的离心力,很容易看到,在图102力所做的功年代在任何下降期间返回长度将超过长度L ，盈余的增加的工作结果摆的振动能量的增加。

在图103所示的情况下，摆动摆的能量增加的计算变得特别简单。在这种情况下，假设当摆处于中间位置时，摆的长度突然减少了∆l的量，当摆处于极端位置时，摆的长度突然增加到相同的量。质量W/g的轨迹用整条线表示在图中。在钟摆的一次摆动中，质量完成两个完整的周期。摆长L缩短时所产生的功为

这里v表示摆锤处于中间位置时质量W/g的速度。在钟摆的极端位置返回的功是

在一个完整的摆动过程中能量的增加是

或者通过将

我们有

由于能量的增加，钟摆的振幅也逐渐增加。

在我们的讨论中，考虑了摆长L的变化。但是，如果引入一个可变的加速度g，而不是一个可变的长度，也可以得到类似的结果。这可以通过在摆锤下放置一个电磁铁来实现。如果在钟摆的每一次振动中产生两个周期的磁力，那么在每一次振动中，多余的能量就会被输入振动系统，这样就会产生较大的振动。

从讨论中可以看出，在垂直磁力的作用下，处于静止状态的垂直悬挂摆可能会变得不稳定，如果采用适当的磁力作用时间，就会产生如上所述的振动。*如果沿垂直轴的振动运动与悬挂钟摆的悬挂点相连接，也会产生类似的效果。这种垂直运动的惯性力相当于上面提到的脉动磁力。

如果不是具有可变的弹簧特性，而是具有可变的振荡质量或产生扭转振动的物体的可变转动惯量，那么在某些条件下可能会出现同样的不稳定现象和振动的逐渐积累。举个例子，一个垂直的轴末端有一个飞轮(图104)。这个系统的自由扭转振动将用振动来表示

其中I为飞轮的转动惯量，k为弹簧常数。现在让我们假设转动惯量I不保持恒定，并且由于沿轮辐滑动的两个对称位置的质量m的简谐运动而周期性地随时间变化(图104,b)。在这种情况下，转动惯量可以用公式表示

其中w是振荡质量m的圆频率，ɚ是一个相对于单位我们假设较小的因素，所以在惯性矩I的大小上只有轻微的波动。将式(i)代入式(h)中，可将方程写成如下形式:

或者，观察到ɚ是一个小的量，我们得到：

可以看出，由于转动惯量大小的波动，我们得到了一个与我们以前得到的关于具有可变弹簧刚度的系统的方程(j)相似的方程。由此可以得出结论，通过正确选择振荡质量w的频率，可以建立如图104所示的系统的大扭转振动。这些振动所必需的能量是由产生质量径向运动的力提供的。当质量向轴的轴线运动时，就产生了一个反离心力的正功。对于反向运动，功是负的。如果当扭转振动的角速度和由此产生的离心力较大时，质量被拉向轴，当离心力较小时，运动被逆转，就会提供建立扭转振动所需的正功的剩余。这样的条件是图105所示,上面的曲线表示振动轮的角速度和较低的曲线代表了大质量m的径向位移r 。质量m振动频率是轴的扭转振动频率的两倍。

如果轴的轮子连接到如图106所示的往复质量上，可能会发生与上述情况类似的情况。如果轴的上端是固定的，并且飞轮的扭转振动很小，使得系统的结构变化很小，那么系统的所有质量都可以用具有恒定转动惯量的等效圆盘来代替(见第77页)。但是，如果转轴是旋转的，则系统的结构是周期性变化的，而等效圆盘必须具有周期性变化的转动惯量。

在前面例子的基础上，可以得出这样的结论:在一定的角速度下，轴系中的重扭转振动是可以建立起来的。这些振动在具有往复质量的发动机中具有相当重要的实际意义。

28. 变弹簧特性振动运动方程的讨论——没有阻尼振动。

如果忽略阻尼，变弹簧特性下的运动微分方程可以表示为:

其中af(t)项是定义弹簧刚度波动的时间周期函数。在机械振动问题中，我们通常会有刚度的小波动，这一项可以被认为是与的小m比较。当这一项消失时，等式(a)与自由谐波振动一致。在前一篇文章讨论的一些例子中，弹簧刚度的波动遵循正弦规律，运动方程为:

例如，在图96c所示的变张力作用下，弦发生横向振动时，我们就有这些条件。

在图90d所示的情况下，得到了变弹簧刚度的最简单情况，其中系统的弹簧常数上叠加了一个波纹。我们现在将讨论后面的情况，并将在本例中展示如何通过考虑方程(a)得出关于运动类型的一般结论。

式(a)的通解可以用这种形式表示：

其中C1和C2为积分常数，和是时间的周期性函数，其周期与特征的波动周期相同，是一个与时间无关的系数。由于函数和的周期性，从(c)可以看出如果x=F(t)是系统在任意时刻t的位移，等于周期的时间间隔后的位移为：

s是一个数量的大小取决于系数。因此,如果我们知道在一个周期运动,第二个周期的位移在任何即时获得乘以相应的位移。第一个周期的相同的方式第三周期的位移将获得通过使用乘数等等。可以看出，运动的类型取决于各因素的大小。如果该因子的绝对值小于单位，则由式(c)给出的位移将逐渐消失。当s的

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[234300]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word