通过反推的方法说明一类分数阶混沌系统的稳定外文翻译资料

英语原文共 7 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

通过反推的方法说明一类分数阶混沌系统的稳定

摘要：本文讨论了一类分数阶混沌系统的稳定问题。通过系统的反推方法结合mittagleffler和Lyapunov稳定性结果分析得到的控制结构，有助于获得分数阶混沌系统的一种特殊情况的严格反馈类稳定，同时避免了奇异性问题。能够用严格反馈形式表达的一类三维系统可以被稳定控制器控制。接下来，该方法已被应用到两个例子中即Lorens混沌系统和Luuml;混沌系统。这些系统属于处理类系统，用来显示应用结果。最后给出的数值模拟结果证实了这里提出的方案的有效性。

关键词：分数阶；混沌系统；反推；严格反馈

1 引言

非线性系统表现出的相互作用和典型的随机行为被视为混沌。它在应用电子、机械、经济、生物、化学等领域都有着广泛的应用。近年来，混沌系统的控制与同步问题得到了足够的重视。一个混沌系统的控制可以在两方面是有益的：一方面减少混沌行为，另一方面使系统摆脱混沌行为或者增加非线性动力系统的混沌程度。不同方法的混沌控制已经在多种系统中被获得，包括湍流流体[1]，振荡化学反应[2]，磁弹性振荡器[3]，心脏组织[4]，等等。

在Grebog[5]和Pecora[6]等人的开创性工作之后，混沌同步和控制成为了一个引起人们极大兴趣的话题[7-9]。直到现在能够实现混沌系统的稳定之前已经提出了各种方法。能使混沌系统稳定的方法包括参数摄动[8]、自适应控制、变结构控制、反推控制[10]，H-infin;控制、收缩理论为基础的方法[11],[12]等。所有的方法使得混沌系统无论在孤立状态下还是在一组状态下都能得到有效处理。

近几十年来，分数阶（非整数）阶混沌系统也得到了发展，其应用引起了研究界的极大兴趣。进入十七世纪，分数阶微积分已经被视为整数阶微积分到非整数阶微积分的扩展。由于没有得到有效的解决方法，分数阶微积分被探索了将近三百年。近年来，各种近似分数阶导数和积分的方法应运而生，这进一步使分数微积分在生物工程、热扩散、信号处理、机器人学、电气工程[13]等领域得到了应用。分数阶微积分在控制系统中也有广泛的适用性。该应用程序围绕两个支柱：一个是分数阶系统，另一个是分数阶控制。已经确定，当分数阶控制器采用分数阶系统[14-15]时，分数阶微积分能够提供一个更现实的系统模型并且能够实现最佳的性能。

混沌系统也可以通过非整数阶微分方程更准确地进行建模，因此被称为分数阶混沌系统。众所周知系统命令超过三个，混沌行为可以被混沌系统表现出来。但在过去的十年中，研究人员已经建立了一些表现出混沌行为且总命令数少于三个的分数阶微分系统，如分数阶chen系统、分数阶Lorens系统[16]等。其他各种分数阶混沌系统也已在最近几年被研究出来，如Chua电路，Rouml;ssler系统，chen[17]系统，改进的Van der Pol-Duffing系统和Luuml;系统[18]。上面提到的各种控制技术，如滑模控制[19-23]，开加闭环控制，主动控制等，也被用于控制和同步的各种类别的混沌系统。反推控制是目前最流行的非线性控制器设计方法之一，它是由Kristic等人[24]开发，且已被广泛用于整数阶非线性系统的控制和同步。它采用了系统的方法，基于Lyapunov理论和保证系统的全局稳定性。基于Lyapunov理论且保证系统的全局稳定性，反推控制采用了系统的方法。状态变量被视为控制器子系统的控制器，对于接下来的每一个步骤，都会生成一个更新控制法。每个步骤的控制器算法被选择，使得相应的进一步保证每个子系统的稳定性的Lyapunov函数存在。随着被Podlubny等人提出的Mittag-Leffler稳定性概念的发展，Lyapunov理论的分数阶非线性系统得到延伸，并形成反推方法且已应用到目前工作中。

目前，应用Mittag-Leffler稳定性判据和反推控制方法提出了混沌系统的稳定问题。这项工作的主要目的是采用反推策略设计控制器，这一原因是为了使一类三维混沌系统具有严格的反馈结构。在最近的文献中对于分数阶混沌系统已经提出了多种方法设计反馈控制器，但这些技术都有一些缺点。在[26-28]中 ，先前的Lyapunov稳定性被用作分析系统的稳定性，在我们的工作中，通过结合Lyapunov直接方法和Mittag-Leffler稳定性得出稳定分析和完全的稳定控制器设计，提供了一个更现实的方法研究系统的稳定性。同时，在[27]中的作者已经研究了一类简单的三维系统，其中非线性存在于状态动力学描述的最后一类方程中，控制器仅与该方程相关。另一方面，在当前手稿里的方法中给出了一个自由选择系统，其中非线性可以存在于任何状态。在[29-31]中的控制方法提供了一个程序去实现分数阶系统的混沌控制，但必须设计多个控制输入并把它们应用到每个状态方程中，而在我们的工作中提出的方法只需要一个控制输入，从而简化了计算与实现。虽然这类特殊的三维分数阶混沌系统解决了基于Lyapunov稳定性判据采用分数阶滑模面的滑模控制的稳定性，但是反推方法并不适用于这些系统，原因在于奇异性问题的产生及其实现。在这项工作中，使用分数阶扩展Lyapunov稳定性判据和轻微的修改反推方法，我们绕过奇异性问题提出一个稳定的控制器，并提供渐近全局稳定性。分数阶Lorens系统和Luuml;系统已作为例子来说明所提出的控制方案的可行性。

本文分为以下六个部分。第2节解释分数阶微积分的基本原理和分数阶混沌系统的稳定性。第3节给出了系统描述和控制器设计策略。第4节处理控制器的设计稳定的两个例子系统。第5节给出详细的数值模拟结果。第6节给出结论。

2 分数阶微积分的基本原理

分数阶微积分是整数阶微积分到非整数阶微积分的一种推广，运算符中a和t是操作的极限，q是任意实数的阶。为了处理分数阶微积分，积分微分运算被定义为

文献中给出的分数阶导数和积分有许多不同的定义。根据复杂性和准确性，每个定义都适用于不同的应用。现有的文献主要集中在三个重要的定义，用于近似一般分数阶导数或积分。这些定义分别被命名为Grunwald- Letnikov（GL）、Riemann- Liouville（RL）和Caputo。这3个定义如下：

Grunwald Letnikov的定义

Riemann- Liouville的定义

当

Caputo的定义

上述定义中Caputo定义为在初始条件下最适合的定义，分数阶微分方程的初始条件是类似于那些用于整数阶的微分方程。在[34] 中Podlubny已经对分数阶微积分的物理和几何意义做出解释。

2.1. 分数阶微分方程的数值解

为解决FODEs，一些文献中提出逼近方法。一种常用的求解非线性fodes的数值方法已从[35-37] 中的Grunwald Letnikov定义中给出。在点kh(k=1,2,...)上，阶导数的显式数值逼近为：

当=记忆长度，h=计算的时间步长，（j=0,1,...,k）是二项式系数，给出

采用以上两种定义，对形成的一般非线性FODE数值解可以用以下描述来表达：

目前，我们已经使用了上述描述来解决模拟例子系统的分数阶微分方程，这些例子系统在第三部分中出现，它们属于寻址类系统。

2.2. 分数阶非线性动力系统的稳定性

由于分数阶非线性动力系统的应用越来越广泛，多年来其稳定性分析引起了人们极大的兴趣。虽然稳定性分析并不像线性方程组那样简单，但在这方面仍有一些进展。在[38]中Matignon 已经表明，不能使用指数稳定性去分析分数阶系统的渐近稳定性。对于分数阶非线性系统，Mittag Leffler把 Lyapunov的稳定和拓展用直接的方法在[25]中给出。Mittag Leffler的稳定是通过下面的定理给出的。

定理1. [25]分数阶非自治系统的解

可认为Mittag Leffler稳定

如果

当是最开始的时间，且m(x)是部分Lipschitz 作用在，为Lipschitz 常数。

在上述定理中，一个函数均衡器已被使用。这个函数叫做Mittag-Leffler函数，它对于分数阶微积分具有重要意义。它是由Agarwal和Humbert在1953年提出。两个参数形式的Mittag Leffler函数可以定义为：

当

并且对于，该函数为常规的指数函数。

当时，我们可以定义一个如下参数形式的Mittag Leffler函数：

许多研究者试图推广Lyapunov稳定性判据到分数阶系统。下面的定理可以表述为相同的定理。

定理2. [25]设x=0是一个非自治分数阶系统的平衡点（8）。假设存在一个Lyapunov 函数和一类 K函数满足

当时，x=0是Mittag Leffler渐近稳定点。

在我们的问题中使用上述定理，我们重现[39]中所给出的如下引理和定理。

引理 1 [39]分数阶导数的幂法：让成为一个实连续可微函数。对于任意

当0lt;qlt;1时上式为分数阶函数。

从上述引理，可以得出如下推论和定理：

推论 1 [40]设为连续和可导函数，在任意时间t时

定理 3 [39]如果,那么u=是（8）中分数阶系统的平衡点，即

如果，那么系统随着变化，Mittag- Leffler是渐近稳定的。

我们现在可以用下面给出的定理形式来总结这个结论：

定理 4 .控制器定义的U =beta;（x）的系统的稳定性（8）是由Lyapunov函数V（t,x（t））保证，它满足下列条件的分数阶导数，其中gamma;是一类K函数。

另外如果

可以得出结论，相应的控制器u能使系统的全局渐近稳定。

3.系统描述与问题公式化

非线性动力系统可以分为几个类，可以用简化的功能形式来表达不同的现实世界中的系统。其中一个重要的类是“严格反馈”系统。一些混沌系统如Chua电路，Duffing振子，Lorenz系统，Luuml;系统等都是这类系统的一部分。严格反馈系统一般表述如下：

已知，当为与系统描述相关联的已知常数参数的向量时上式为光滑非线性函数。如果我们确保，则反推技术只能用来解决上述形式的系统的稳定问题。特别的，如果是某些状态函数，这种限制就不存在了。如果对于任意的是一个状态函数，然后在任何时刻变成零，然后出现奇异问题，控制器将导致系统不稳定。在反推方法里做了一些修改，它有可能成为具有这样配置的控制

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[28571]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word