不等式的主题——理论和工具外文翻译资料

外文翻译一：

不等式的主题——理论和工具

介绍

不等式在数学的各个领域中都非常有用。本书的目的是面向问题的不等式理论基础技术。读者会遇到经典的定理，包括Schur不等式，Muirhead理论，柯西-施瓦茨不等式，幂平均不等式，AM-GM不等式和Holder理论。我将非常乐意收到读者的批评指正。

致读者

我的目标读者是具有挑战性的高中生和大学生。这本书给定的技术，仅仅是不等式的冰山一角。年轻的学生应该找到他们自己各种解决问题的方法。一个伟大的匈牙利数学家Paul Erdos喜欢说，上帝拥有一本具有所有的理论及其最好的证明的无限的书。我强烈鼓励读者把我书中的问题的自己解决方案寄给我。

1. 节 几何不等式

1.1拉维替代

许多不等式能被简单替代。我们从三角几何中的一个经典不等式开始。什么是第一个非平凡的几何不等式？1746年， Chapple证明了它

定理1.1.1.（Chapple 1746, Euler 1765）设R和r表示的三角形ABC的外接圆和内切圆半径。然后，我们有，等号当且仅当三角形ABC时等边三角形。

证明：让。回忆著名的恒等式：。因此，

相当于or or 。我们需要证明接下来的不等式。

定理1.1.2.设是一个三角形的三边长。那么，我们有

或者

等号当且仅当时成立。

证明：我们用拉维替代：因为是一个三角形的三边长，有正实数使得。然后，不等式就变为因为 。然后，我们得到

练习1让三角形ABC是一个直角三角形。证明：，什么时候等号成立？

很自然要去查询定理2中对任意正实数都成立的不等式。是的。证明不等式在没有事一个三角形的三边长是有可能的：

定理1.1.3.设。那么，我们有。等号当且仅当时成立。

证明：由于不平等的变量是对称的，不失一般性，我们可以假设。那么，我们有and 。如果，那么是三角形的边的长度。既然这样，通过定理2，我们得到答案。现在我们可以假设。那么，。

当一些为0时定理2中的不等式成立：

定理1.1.4.设。那么，我们有。

证明：因为，我们能够找到正数列使得

应用定理2的结果

现在，将不等式的两边取极限，我们就得到了结果。

很清楚，不等式当且仅当时成立。但是，以及不能确保。事实上，当，等式相当于或者 或者 或者。

简单的验证等式

因此，定理4是Schur不等式的一个典型例子。

问题1.（IMO2000/2，由Titu Andreescu提出）设是正实数而且它们的积。证明如下不等式：

第一种方法。因为，因为，我们做出如下假设。我们重写了给定不等式中的，

。

拉维替代对不等式非常有用，当是一个三角形的三边长时。在拉维替代之后，我们可以删除它们为三角形的边的长度的条件。

问题2（IMO 1983/6）设是一个三角形的三边长。证明如下不等式：

第一个解决方案。因为，在假设之后，它变成了

或者

，

按照柯西-施瓦茨不等式

。

练习2.令是一个三角形的三边长。证明：。

练习3.（Darij Grinberg）令是一个三角形的三边长。证明不等式

和不等式

。

我们现在讨论Weitzenbouml;ck不等式和其相关的不等式。

问题3.（IMO 1961/2，Weitzenbouml;ck不等式）设是一个三角形面积为S的三边长。证明一下不等式：。

方法：因为，假设。它相对于，

可以得到如下不等式：

这里，我们可以运用著名的基本不等式和。

定理1.1.5（Hadwiger-Finsler 不等式）对任何一个三角形ABC的三边长为，面积为F，下列不等式成立：。

第一个不等式证明。因为假设，所以可以假设，不等式变成了，

从以下证明开始：

第二个不等式证明。我们给出了凸性的证明。这里有很多种方法降低变量元的方法：

因为在区间上下凸的， Jensen不等式证得

Tsintsifas证明同时推广weitzenbouml;CK不等式和Nesbitt不等式。

定理1.1.6.（Tsintsifas）让是正实数，是一个面积为F的三角形的三边长。那么，我们有

。

证明：（V. Pambuccian）通过 Hadwiger-Finsler不等式，这足以说明：

或者

或者

然而，这是柯西-施瓦茨不等式的一个简单的结果。

3.4柯西-施瓦茨不等式和 Holder不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院会刊创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。

柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。

我们从以下著名理论开始：

定理3.4.1.（柯西-施瓦茨不等式）设是实数，那么

。

证明：让，。在这种情况下，当A=0时，我们知道。这时，给定的基本不等式显然成立。所以，我们可以假设A，Bgt;0，我们可以规范为。

因此，我们需要证明。

现在我们应用AM-GM不等式去推断

定理4.2.3.（RMS-AM-GM-HM 不等式）对所有，我们有

外文翻译二：

数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体， 特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。

在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件，分别是: Chebycheff在1882年发表的论文和1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy Littlewood和 Plya的著作Inequalities的前言中对不等式的哲学(philosophy)给出了有见地的见解：一般来讲，初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在的”，而且应该给出等号成立的证明。A.M.Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。Hardy认为，基本的不等式是初等的。自从著名数学家 G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论。

20世纪70年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式 (General Inequalities)国际学术会议，并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analysts”( WCNA - 2000))的主题之一。2000年和 2001 年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函分析和应用国际会议(International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications)与2000年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中。2001年的不等式国际会议INEQUALITIES于2001年7月9日至14日在罗马尼亚 University of the West召开。

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的作用和地位。著名数学家D.S.Mitrinovic在他的名著的序言中曾引述到：“所有分析学家要花费一半的时间通过文献找查他们想要用而又不能证明的不等式”，由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义。而且，不等式的证明，方法多样，技巧性强。在证明不等式时，往往需要依据题设和特征不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法。这就需要熟悉各种证明方法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，通过揭示问题的本质特征，使难解性问题转化为可解性问题。不等式的证明往往不是用一种方法就能解决的，无固定的规律可以寻找。它是各种思想方法的集中体现。所以熟练掌握几种不等式证明的方法，并灵活运用有非常重要的意义。论文将把不等式的一些重要证明方法进行系统的总结，选用经典的例题来说明其证明方法，以便对于不等式的证明有更好地理解，同时密切联系实际，应用不等式解决实际中的简单问题，更加进一步说明不等式的重要性。

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