2.四个重要的线性偏微分外文翻译资料

2.四个重要的线性偏微分

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2．1．输运方程

最简单的偏微分方程之一是常系数输运方程。这是偏微分方程

其中b是中的一个固定向量，b=(bl， ..)以及u：X[0,]→R是未知的，u = u(x,t)。这里x = (x1, . .，xn) 属于 表示空间中的一个典型点，t0表示一个典型时间。我们写Du =Dxu= (ux1，...，uxn) ..对于u关于空间变量z的梯度。

哪个函数是u解(1)的?为了回答这个问题，我们先假设有一个光滑解u并试着计算它。要这样做，我们首先必须认识到偏微分方程(1)断言u的一个特定方向导数消失了。我们通过固定任意点(x,t)

来利用这一观点

然后我们计算

第二个等式由于(1)而成立，因此z(.)是s的常数函数，因此对于每个点(z,t)， u在经过(z,t)的直线上是常数，方向为。因此，如果我们知道u在这条直线上的任意一点的值，我们就知道它在中处处的值。初值问题。

因此，为了确定，让我们考虑初值问题

这里,答是已知的,问题是计算u。鉴于(x, t)如上所述,线通过与方向(z, t) (b, 1)是由参数化表示。这条线打飞机 s = - t的时候,点(x-tb, 0)。因为u在直线上是常数我们可以推导

因此，如果(2)有一个充分正则解u，它必然由(3)给出。反过来，也很容易直接检验，如果g为CI，则(3)定义的u确实是(2)的解。

2．1．输运方程

弱的解决方案。如果g不是C，那么(2)显然不存在Cl解。但即使在这种情况下，公式(3)肯定提供了一个强的，实际上是唯一合理的解候选。因此我们可以非正式地声明是(2)的弱解，即使g不应该是Cl。即使g和u是不连续的，这也是有意义的。这样的概念，即非光滑甚至不连续的函数有时可以解决偏微分方程，稍后我们将在83.4中研究非线性输运现象时再次出现。

2.1.2。非齐次问题

下一个。让我们看一下相关的非齐次问题

和前面一样，固定，受上面计算的启发，集合z(s):=

因此

所以

求解初值问题(4)

我们将在$2.4.1中使用这个公式来求解一维波动方程。

的话。注意，我们通过将偏微分方程转化为常微分方程，得到了解(3)、(5)。本程序是一种特殊情况下的特征方法，稍后在$3.2中开发。

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20.

２．2.拉普拉斯方程

在所有偏微分方程中最重要的无疑是拉普拉斯方程

和泊松方程

在(1)和(2)中，和未知数为，其中是一个给定的开集，在(2)中也给出了函数。记住sa。3中u的拉普拉斯量是定义。满足(1)的C2函数称为调和函数。

物理解释。拉普拉斯方程出现在很多物理环境中。在一种典型的解释中，u表示某些量(例如化学浓度)处于平衡状态的密度。那么，如果V是U内的任意光滑子区域，则U到oV的净为零

F为fux密度，v为单位外法线场。根据高斯-格林定理(sc2)，我们

所以

因为V是任意的。在许多情况下，假设通量F与梯度Du成正比是合理的，但指向相反的方向(因为流是从高浓度区域到低浓度区域)。因此

为了与第6章中一般二阶椭圆算子的符号一致，我们倾向于用负号表示(2)

２．2.拉普拉斯方程

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代入(3)得到拉普拉斯方程

0

如果u表示

化学浓度温度

静电势

方程(4)

菲克扩散定律

傅里叶热传导定律欧姆电导定律

关于拉普拉斯方程在数学物理中的普遍性的讨论，参见Fevnman-Leighton-Sands [F-L-S，第12章]。在解析函数的研究和布朗运动的概率研究中也出现了拉普拉斯方程

2.2.1。基本的解决方案

a.基本解的推导。研究任何偏微分方程的一个好策略是先找出一些显式解，然后，如果偏微分方程是线性的，就从前面提到的具体解中组合出更复杂的解。此外，在寻找显式解时，将注意力限制在具有特定对称性的函数类上往往是明智的。由于拉普拉斯方程在旋转下是不变的(问题2)，因此似乎最好先寻找径向解，即的函数。

因此，让我们尝试找出拉普拉斯方程(1)在u =IRn中的解。的形式

其中和v被选择(如果可能的话)，使Au = 0持有。i =1的第一个注意....n,

我们因此有

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因为我= 1hellip;， n等

如果是0，我们就推论

因此v(r) =某个常数a

如果rgt; 0，我们有

其中b和c是常数。

这些考虑因素激发了下面的定义。这个函数

定义为x E R' x 0，是拉普拉斯方程的基本解。

(6)中常数的特定选择的原因一会儿就会很明显。(回忆从一美元。2，则a(n)表示中单位球的体积。)

我们有时会稍微滥用符号和书写径向强调的基本解决方案。请注意，我们有估算

对于某个常数C gt;o

b。泊松方程。通过构造函数是a0的谐波。如果我们把原点移到一个新的点y, PDE(1)不变;所以作为x, xy的调和函数。让我们现在取，并注意到映射 (xy)对于每个点是调和的，因此是为不同点y建立的有限多个这样的表达式的和

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这个推理可能表明，

可以解出拉普拉斯方程(1)但是，这是错误的。实际上，正如估计(7)所示，在y = x的奇点附近不能求和，因此通过积分号的幼稚微分是不合理的(也是不正确的)。我们必须更仔细地计算Au。

为了简单起见，我们假设是也就是说，f是具有紧支持的二次连续可微的。

定理1(解泊松方程)。定义u为(8)Ther

和

因此我们看到(8)为我们提供了中泊松方程(2)的解的一个公式

证明。1。我们有

其中，第i位的1。但

在IRn灰分上均匀→0，因此

因此

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由于(10)右边的表达式在变量xr中是连续的，我们看到。

1. 由于爆炸发生在0点，我们将需要后续的计算来将这个奇点隔离在一个小球中。固定e gt; 0。然后

分部积分(参见$C.2)会产生

(14) Lel IlDfilloo(E (3) ds(y) lt; (Cellog el (n=2))

CE (n23)。

3.我们继续对k项进行分部积分

因为是和)。因此融在上，由于是球面的表面积，我们有

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(记住从一美元。3从斜杠到整型表示平均值。)

4.结合(11)-(15)，让e→0。我们。作为断言。

定理1实际上是有效的，在远不那么严格的光滑要求f:见Gilbarg-Trudinger [G-TI。

О

基本解的解释。我们有时会写

5n表示Dirac测量在IR上“给出单位质量到点0。采用这种表示法，我们可以正式地计算

根据定理1。这纠正了错误的计算(9)。

2.2.2。中值公式。

现在考虑一个开集,假设你是一个调和函数在美国我们推导出重要的中值公式,既宣布U (x) = U除以球面aB的平均值(x, R)和U在整个球的平均B (x, R),提供B (x, R),这些隐式公式涉及U产生显著的后果,我们会暂时看到的

定理2(拉普拉斯方程的中值公式)。如果是谐波，那么

对于每个球B(x,r)CU。证明。我设置

然后

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因此，使用SC.2中的格林公式，我们计算

因此o是常数，所以

2.接下来观察我们使用的极坐标，如在$C中。3,给

定理3(与均值性质相反)。如果u E C2(u)满足

对于每个球B(z,r) cu，那么U是调和的。

证明。如果Au 0，存在一个球，在B(x,r)内。但是对于上面的o，

一个矛盾。

．

2.2.3。调和函数的性质。

我们现在提出关于调和函数的一系列有趣的推论，都基于中值公式。假设下面的帽子是开放的和有界的。

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强极大值原理，唯一性。我们首先断言谐波函数必须在边界上达到它的最大值，而在连通区域的内部不能达到它的最大值，除非它是常数。

定理4(强极大原理)。假设在u内是调和的。

(i）,那么

ii)此外，如果U是连通的，且存在一个点xo E U使

其他

u在u内是常数。

断言(i)是拉普拉斯方程的最小值原理，(i)是强max。rimum原则。用“min”替换“max”，我们也恢复了类似的断言。

证明。假设存在一个点那么对于均值属性断言

由于等式只有在中u= M时成立，我们看到对所有。因此，集合在U中既是开的又是相对闭的，因此如果U是连通的，则等于U。这证明了断言(ii)，由此得出断言(i)。

积极性。强最大原理特别断言，如果U是连接的，uE C(U) n C(ō)满足

如果g在oU上的某个地方是正的，那么u在u中处处都是正的

极大值原理的一个重要应用是建立泊松方程某些边值问题解的唯一性。

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定理5(唯一性)。。边值问题最多有一个解

（17）

证明。如果u和i都满足(17)，将定理4应用于调和函数

．

b。规律性。接下来我们证明如果是调和的，那么必然是。因此调和函数是自动无限可微的。这种断言被称为正则性定理。有趣的是拉普拉斯方程的代数结构;=0得到的解析推导是，u的所有偏导数都存在，甚至在偏微分方程中没有出现的偏导数也存在

定理G(平滑)。如果满足每个球的均值性质(16)，则

注意，你可能不是流畅的，甚至是连续的，直到

证明。设n为标准软垫，如$C所述。n是径向函数。。如SC.4所示，。

我们将证明u是光滑的通过证明。确实，如果

因此在Ue中uf=u，那么对于每个E,为gt;0。

О

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c.调和函数的局部估计。现在我们用中值公式对调和函数的各种偏导数进行仔细的估计。当我们证明分析性时，下面将需要这些估计的精确结构。

定理7(导数的估计)。假设u在u中是调和的，那么

对于每个球和每个阶的多变量a

证明。1。我们通过对k的归纳建立(18)(19)，k =0的情况直接从公式(16)的平均值。对于k =1，我们在微分拉普拉斯方程时注意到，是调和的。因此

如果是那么，和

当k=0时，由(18)(19)结合上面的不等式，我们推导

如果。当k=1时，验证(18)，(19)。

2.现在假设kgt; 2和(18)、(19)对于U中的所有球和每个阶数小于或等于k-1的多指数都是有效的。固定，让a

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30.

是一个的多索引。则，对于某些 ，。通过类似于(20)的计算，我们建立了

结合之前的两个估计得出了这个界限

这证实时(18)(19)。

О

d,刘维定理。我们现在断言在所有的上不存在非平凡有界调和函数。

定理8(刘维尔定理)。假设是调和有界的。那么u是常数。

证明。修正并在B(xo, r)上应用定理7

r→。因此Du = 0，所以u是常数

定理9(表示式)。设。它们的有界解

-Au =f in Ikn

コ

的形式

对于某个常数C

２．2.拉普拉斯方程

1

证明。因为对于n3，和一样是Rn中的有界解。如果ui是另一种解决方案。是常数，根据刘维尔定理。

的话。如果n=2，是无界的，因为，所以可能是。

e。解析性。我们改进定理6:

定理10(分析性)。假设u在U中是调和的，那么U在u中是解析的。

证明。1。

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