古社会的影子推算问题作为三角学学习的背景外文翻译资料

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古社会的影子推算问题作为三角学学习的背景

摘要：在本文中，我们探讨了来自各个古代社会特别是中国和中世纪伊斯兰教的影子观察和计算，将其作为开发学习设计的灵感。我们利用三角学从古时的阴影推算技术的演变来安排高一学生的教学任务，并分析其在支持学生理解三角学方面的作用。我们选择设计研究作为达到目的的方法。但是，我们将讨论限制在设计研究的三个主要阶段的一个阶段，即试点实验中。学习设计的理念是让学生参与涉及影子比概念的古时数学活动，作为基本三角学的开端。这项研究涉及六名印度尼西亚高中生。我们开发了一个教学设计，其中包括几个活动，首先使用中国古代的重差术（双差）解决基于历史的问题，其中计算方法是使用来自两个极点的阴影辅助作为晷针来确定高度或无法接近的物体（例如山脉或山谷）的深度和距离，然后在测量过程中使用中世纪伊斯兰教的工具和方法来解决问题，这实际上也是从阴影计算的概念发展而来的。结果表明，使用古代的问题和方法可以为学生提供有价值的见解，让他们有机会有意义地学习三角比。此外，以历史为背景，通过将各种背景数学问题转化为形式数学形式，学生获得了更多提高数学素养的机会。

1 引言

将数学史 (HoM) 带入课堂为学生了解数学概念以及概念的起源如何演变提供了丰富的源材料。因此，利用数学史方法开发学习设计成为发展数学教学创新的重要研究课题之一。例如，Fachrudin、Putri、Kohar和Widadah ^[1]使用古巴比伦方法的历史视角开发了二次方程学习教学设计Fachrudin等人^[2] 还使用中国古代历史任务来支持学生在学习毕达哥拉斯时的几何推理和数学素养。研究结果表明，数学史通过让学生有机会了解数学概念在历史上是如何发展的，为理解概念提供了条件。

Swetz ^[3]指出，阴影推算作为一项重要的早期数学活动被许多古代社会用于土地测量（确定土地或建筑物的高度或深度），然后转换为阴影比率，最终推导基本三角函数 我们今天知道的功能。中国古代所揭示的证据之一，在被称为“数学艺术九章”的九章算数中。九章最后一章勾股章有一个“海岛”问题。在这个问题上，刘徽（公元263年）评论了用两个晷针和它的影子来测量一座山的高度。刘徽所用的方法被称为“重差术”（影异法）。重差术可以用现代解释表示为正切和余切的函数。

在中世纪的伊斯兰教时代，影子理论是根据印度天文学家将弦替换为半弦或正弦以及将余角的正弦定义为余弦，将弦的概念（托勒密的弦表）修改为半弦而发展起来的通过将转影的概念定义为正切，其斜边定义为正割，直影定义为余切，其斜边定义为余割，在伊斯兰时代首次引入了六三角函数的概念。这表明，从历史上看，三角学作为数学学科之一的发展离不开“影子推算”活动。

Kamber amp; Takaci ^[4]强调，在学习三角学的过程中，学生应该有更多的机会来解决上下文问题。此外，Fachrudin和Putri ^[5]暗示数学史在通过情境问题提高学生的理解力方面发挥着重要作用。与国际学生评估项目(PISA)中的现实挑战相一致，HoM的问题解决还帮助学生通过数学素养的过程类别（即在各种情况下制定、使用和解释数学）来提高他们的数学素养。

通过古代社会的影子推算活动，我们试图开发一套学习三角学的教学任务。其核心思想是通过将中国古代影子推算和影子概念发展成为中世纪伊斯兰时代的六大三角函数，建立学生对三角函数的认识。特别的本研究的目的是描述我们以古代社会的影子推算问题为背景，构建学习三角学的假设学习轨迹的初步阶段。

2.文献综述

2.1中国古代的影子推算

九章算术或称为“九章数学艺术”是由九个不同部分组成的中国古代著作。最后一章为勾股，讨论了关于直角三角形性质的二十四个问题的求解^[4]。在勾股中，有关于直角三角形性质特别是毕达哥拉斯定理的24道题，其中第24道题涉及测绘题，是用晷针的“影子推算”原理来解决的。刘辉具体阐述并增加了九个测量问题，并使用阴影推算技术或称为“双差技术”或“重差术”解释了解决方案。再者，于唐代（618-906）这个附加问题与九章分开讨论，被称为海岛算经（海岛数学手册）。以下是海道算经中的一个问题以及使用重差术的解决技术的示例，该方法原则上使用了“影子推算”的概念。

今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。人目著地观测到岛峰，从后表退行127步，人目著地观测到岛峰，问岛高多少？岛与前表相距多远（见图 1）^[6]？

1尺 = 1英尺

1步= 6尺

图1 海岛问题

为了解决这个问题，Swetz ^[7]解释说，刘辉用三角问题的形式说明了这个问题，如下所示（图 2）。如果我们假设日晷的高度或RB=h，而GE=a₁是第一个日晷的影子的长度，而CI=a₂是第二个日晷的影子的长度。海岛高度为AB=y，第一指距海岛峰底端距离为，两杆之间距离为EB=z。

图2 刘辉的重差术

因为平行于，所以MN=OP，

因为PL=HN和MN=OP，因此矩形POJL的面积等于矩形NMFH的面积，

因为是矩形MNHF的面积等于矩形EBRM的面积，所以阴影面积EBRM等于阴影面积POJLhellip;hellip;（1），

因为矩形IBRO的面积等于矩形QOJD的面积，且（1），所以矩形IEMO的面积等于矩形QPLD的面积hellip;hellip;（2），

因为，所以我们可得或，

因为，所以EB，

可得海岛的高度和距离为：

和。

我们将这个量称为“阴影差”通过将角度的概念强加于条件和，公式可以用三角函数形式表示，

在现代解释下，重差术可以指三角（正切）函数这证明了三角方程的原始形式来自阴影推算活动。

2.2. 影子概念与中世纪伊斯兰教六三角函数的开端

对于伊斯兰时代的各种天文学研究和位置坐标的确定，阴影推算概念开始发展起来Mohammed ibn Jabir al-Battani al-Harrani（约858-929年）是伊斯兰天文学家之一，他继续并发展了印度教科学家开发的“半弦”或正弦和正弦的补码或称为余弦的概念^[8]。

晷影的概念（阿拉伯语为 miqyas）是正切和余切（图3）。Mohammed Abul-Wafa Al-Buzjani (940–998) 引入了“晷针圆”，晷针的长度为半径（图3），转动阴影的长度为切线。

图3 伊斯兰时代影子与晷针的关系概念

Abul-Wafa通过将“Chord”（由“crd”表示）的概念组合成一个圆圈（先前由Hipparchus和Ptolemy引入）来提供几个术语的定义，如图4所示。但不同之处在于 如果托勒密使用60个半径单位的标准尺寸，那么在伊斯兰时代，圆的标准半径是1个单位。对于圆上的角度，它使用了托勒密提出的概念，将圆的周长分为360个部分。在伊斯兰时代，三角学最初是“长度”的单位，而不是今天所知的“比率”。

图 4 弦和正弦的关系，也定义了六个三角“长度”

Muhammad ibn Ahmad al-Biruni (973-1055) 在他的著作《关于阴影的详尽论述》中定义，当有一个指针平行于地平线 (OB) 时，阴影的长度（反转阴影）是相切的。同时，阴影的斜边长度（OD）为正割。而当晷针垂直于地平线 (OE) 时，晷针的阴影长度（直接阴影）称为余切 (EK)，直接阴影的斜边长度 (OK) 称为余割（见图 4） .

3.方法

设计研究是本研究中使用的方法。这类研究的目的是通过测试和比较假设学习轨迹 (HLT) 作为初始设计与通过试点实验和教学实验的实际学习来开发局部教学理论 (LIT) ^[9]然而，我们限制了我们对试点实验的讨论，从设计研究的三个主要阶段开始。

这项研究涉及6名学生。收集的数据是现场笔记和学生的工作。在做完 HLT 测试之后，我们进行了回顾性分析，比较了实际学习和HLT。分析结果用于修订HLT。

4.结果和讨论

在本节中，我们将根据我们开发的假设学习轨迹简要解释学习活动和学生答案示例我们根据中国古代的影子推算活动、重差术的测量方法以及中世纪伊斯兰教时代的影子概念作为六大三角函数的开端，开发了一系列学习活动。要求学生通过连接伊斯兰阴影概念和托勒密的和弦概念来构建三角表。此外，我们要求学生解决并完成Al Biruni使用三角学概念确定地球半径的工作。

以下是基于实验的HLT与Actual Learning对比的定量数据分析。

表1 每个活动任务的实际学习结果与HLT猜想的比较