几何教育中的类比推理外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

几何教育中的类比推理

作者：Ioana Magdaş

国籍：罗马尼亚

出处：Acta Didactica Napocensia 2015 Vol.8 No.1 P57-65

中文译文：

几何教育中的类比推理

Ioana Magdaş

摘要：类比推理不仅用于数学，而且在日常生活中。在本文中，我们研究了几何教育中的类比推理。本文的新颖之处在于通过推理类型及其范例对几何类比的分类。我们的分类包括：理解和设置几何概念的类比、类比概念、类比定理和性质、问题内部的类比、通过与基本定理的类比来解决问题，或使用一般方法和通过观察类比而制定的数学结果。

关键词：数学、几何学、类比推理

一、简介

在日常生活中，我们经常进行迁移，因为“迁移是调动获得的知识和技能在新环境下使用，或多或少不同于学习的状态”（Voiculescu, 2013, p. 67 cited. Scallon, 2004, p. 109)。可以认为“相似和类比是迁移的基础”（Voiculescu, 2013, p. 68）。Polya（1965, p. 57）认为“类比是一种相似性”。相似的对象或事物在某些方面都一致，相似的对象或事物通过其组成部分的某些模拟关系而一致。类比推理“是任何依赖于类比的思维类型”。类比论点是一种类比推理形式的显式表示，它引用了两个系统之间可接受的相似性，以支持存在一些进一步相似性的结论。(http://plato.stanford.edu/entries/reasoninganalogy/)。

类比推理不仅在数学中使用，也在日常生活中使用。根据Richland、Holyoak和Stigler（2004, p. 37），“跨学科的实证研究人员认为，类比推理可能是学习抽象概念的核心（e.g., Brown amp; Kane, 1988;Gentner,Holyoak, amp; Kokinov, 2001），procedures (Goswami, 1992; Ross, 1987), novel mathematics (Bassok, 2001; Novick amp; Holyoak, 1991; Ross, 1987)。在这些方面，我们可以补充说，类比推理发展能力如下：在新情况下找到已知相似方面的技能，在新情况下应用已知事物的技能，泛化技能。在这种情况下，熟悉使用类比作为数学中的一种特定方法，不仅是数学，而且在现实生活中也有很多好处。

在我们的方法中，我们从伟大的罗马尼亚数学家Solomon Marcus的陈述（1987, p. 91）开始：“类比推理是数学思维中最强大的工具之一。不幸的是，它在教育中的使用程度非常低。但任何类似的经济都必须通过额外的记忆努力来补偿”。在这种情况下，数学教师的角色是确定学生在不同的情况下尽可能多地识别和使用模拟推理。在本文中，我们研究了几何教育中的类比推理。本文的新颖之处在于通过推理类型及其范例对几何类比的分类。我们的分类包括：理解和设置几何概念的类比、类比概念、类比定理和性质、问题内部的类比、通过与基本定理的类比来解决问题，或使用一般方法和通过观察类比而制定的数学结果。

二、数学学习中的类比推理

对学生来说，数学似乎是一个不同的概念和公式的集合。然而，数学是一种复杂的工具，每个概念或多或少地与其他数学概念或其他科学以及日常生活元素联系在一起。我们如何处理这一复杂的概念？即使我们不能给这个问题一个完整的答案，我们也肯定，“问题不是传播最终的科学，而是获得一种思维方式”（Revuz,

1970, p. 58）。在这种情况下，类比推理为数学思维带来了重要的贡献。一方面，类比是在日常生活元素和数学之间的，另一方面，类比的目标是数学内容元素，这将决定整个数学的愿景。

在图1（processing after Magdaş, 1999, p. 62）中，我们通过在现实生活情况或问题中使用类比推理来表示思维方式。假设我们必须解决一个问题P。通过识别我们识别一个模拟问题，标记为BP问题（基本问题）。通过类比解决步骤1、2、、、n在模拟步骤1、2、、、n中转换为解决问题P。但有时我们需要添加新的步骤1、2、、、k来解决问题P。所有这些步骤一起将给我们问题P的解决方案。

图1、解决问题的类比推理方案

图1中的方案可用于引入类似的概念。因此，在图2中，我们表示了引入概念Crsquo;的思维方式。在这种情况下，模拟的概念是基于概念C的，它是由属性P1，P2，hellip;hellip;定义的，Pn。通过类比，这些属性被转换为新的情况，如属性P1，P2，hellip;，Pn。这些新属性定义了新概念Crsquo;。

图2、概念间类比推理方案

1. 几何学中的类比推理的类型

a.用于理解和设置几何概念的类比

为了理解一个数学概念，有必要在语言表达、定义符号（书面表达）和视觉表示（材料模型、图片、图纸等）之间进行类比。改变符号是“测试数学理解水平的好方法，换句话说，用表示它们的符号独立识别数学对象和情况”（Marcus, 1987, p. 44）。

接下来我们说明毕达哥拉斯定理的类比：

bull; 语言表达式：在直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方的和。

bull; 视觉表示法：

bull; 书面表达式（毕达哥拉斯方程式）：

bull; 数字和毕达哥拉斯方程之间的联系必须在各种上下文下进行如下：

b.类比概念

从小学开始，学生就发现了类似的概念。一个类似推理的例子发生在SI测量单位的标准前缀和长度、质量和体积的标准单位之间。SI是国际单位制的法语的缩写。在这种情况下，使用的前缀对于所有的措施，以及如何从一个转换到另一个乘以10的幂，都是相同的。在图3中，我们已经举例说明了标准前缀和长度的标准单位之间的模拟推理。

图3、SI标准前缀之间的类比推理测量单位和长度标准单位

大多数类比的概念都是通过推广得到的。“追溯到巴比伦时代，在面积和体积、线和平面、长度和面积、形状和固体、三角形和金字塔形、三角形、平行四边形和平行六边体等之间进行了类似的映射。((Pease, Guhe, Smail, p. 2))。在表1中，我们提出了一些类似的概念。

表1.类比概念

c.类比定理和性质

在引入类比概念后，出现了类比定理。通常，由于一个概念的性质，我们可以假设模拟概念具有相似的性质。这些类似的属性可以是真的或假的。如果这是真的，这个演示可以是或不是一个类比的演示。在表2中，我们给出了一些类比的定理和性质。

表2.类比定理和性质

在图4中，我们举例说明了毕达哥拉斯定理和余弦定律之间的类比。演示证明并不是类似的。虽然毕达哥拉斯定理有超过100个证明，但通常的证明方法使用腿定理。但对于余弦定律的证明，它使用了两次毕达哥拉斯定理，如图4所示。在这种情况下，余弦定律公式类似于毕达哥拉斯定理，这使它很容易记住。

图4.毕达哥拉斯定理与余弦定律的类比推理

d.在几何问题中使用类比推理

有时，特别是在几何学中，我们在问题内使用类比推理。为了说明这种情况，我们提出了下一个定理：三角形的高度是并发的。

证明：让我们考虑三角形ABC、A、B、C、垂直线从BC、AC、AB、A、C开始的足脚，通过顶点构造三角形ABC两侧的平行线得到的三角形（见图5）

图5.三角形高度的重合度

通过构造，ABCF和BCAD是平行四边形，因此BC=AF=AD。因为AAperp;BC然后AArsquo;perp;DF所以AArsquo;是侧面的垂直平分线。使用类比推理，BBrsquo;和 CCrsquo;分别是两侧的垂直二分线。因此，三角形ABC的高度是三角形DEF的垂直二分线，利用三角形垂直二分线的并行性质，我们可以得出高度AArsquo;、BBrsquo;和CCrsquo;是并发的。

在这个证明中，我们观察到在两种情况下使用一个类似的推理：证明BBrsquo;和CCrsquo;分别是边DE、EF的垂直二分线。在数学科学中，这种推理经常被使用，但对孩子们来说，这可能会被混淆。这就是为什么我们建议写下整个证据。这可以通过使用一个表，学生可以看到的类比。第一列将被填写在正面，学生们将填写其他一栏。