拉丁方中的恒量和行列式外文翻译资料

拉丁方中的恒量和行列式

Permanents and Determinants of Latin Squares

论文作者： Donovan D.,Johnson K.,Wanless

摘 要

设L是一个拉丁方。我们研究了L的行列式和恒量，并证明了L的许多性质可以从多项式det（L）和per（L）中重新获得。例如，可以从per（L）判断L有多少个截线，L中2times;2拉丁子方阵的个数可以由det（L）和per（L）确定。更一般地，我们可以从det（L）或per（L）判断所有符号周期的长度。这些周期长度为det(L)和per(L)中的每个单项的系数提供一个公式，只涉及两个不同的不定式。拉丁方A和B是三阶的，如果B可以通过行变换、列变换以及（或者）符号变换获得。我们证明了等恒量等行列式的非三阶拉丁方对于nge;9且能被3整除的所有阶都存在。还证明了恒等元的知识，区分有限群的Cayley表。已知行列式也有类似的结果。copy;2014威利期刊，J. Combin公司。

Let L be a latin square of indeterminates. We explore the determinant and permanent of L and show that a number of properties of L can be recovered from the polynomials det(L) and per(L). For example, it is possible to tell how many transversals L has from per(L),and the number of 2 times; 2 latin subsquares in L can be determined from both det(L) and per(L).More generally, we can diagnose from det(L) or per(L) the lengths of all symbol cycles. These cycle lengths provide a formula for the coefficient of each monomial in det(L) and per(L) that involves only two different indeterminates. Latin squares A and B are trisotopic if B can be obtained from A by permuting rows, permuting columns, permuting symbols, and/or transposing. We show that nontrisotopic latin squares with equal permanents and equal determinants exist for all orders n ge; 9 that are divisible by 3. We also show that the permanent, together with knowledge of the identity element, distinguishes Cayley tables of finite groups from each other.A similar result for determinants was already known. copy; 2014 Wiley Periodicals, Inc. J. Combin

关键词：拉丁方；拟群；行列式；恒量；横截

Keywords: Latin square；quasigroup；determinant；permanent；transversal

目 录

1、简介hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;04

2、符号和术语hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;05

3、群中的Cayley量表hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;06

参考文献hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;09

1.简介

设[n]={0，1，2，hellip;，nminus;1} ，是行列式中n个可交换的集合。拉丁方是一个ntimes;n的符号矩阵，其中每一个符号在每一行中正好出现一次，在每一列中正好出现一次。在本文中，我们只考虑的拉丁方，即n times; n个数组，其中每行和每列都是的排列。取行列式或这样一个拉丁方的恒量产生一个n维齐次多元多项式。我们的目的是调查哪些拉丁方的性质可以由这些多项式单独确定。这种性质的例子可能是截线的数量(从不同的行和列中选择n个不同的符号)，或插入的数量(2阶的子方阵)。这些特性的测定可提供拉丁方的广泛分层，用于搜索或分类。 [1]和[2]中的额外动机，其中，恒量和拉丁方的行列式用不定数证明了拉丁方的非三阶一般性质。

设为[n]的置换集。psi;，phi;isin; 的排列组合用psi;phi;表示，取置换x→psi;phi;（x）=psi;（phi;（x））。拉丁L=[aij]，n阶，L的恒量由

决定，而L的行列式由

决定。且当

当考虑多项式时，我们总是假设已经收集了同类项。per（L）和det（L）都可以看作是单项式的和，其中每一项都是不定式的乘积，具有整数系数。二元的单项式是形式的，其中u v=n，z是整数。为了简化证明语言，我们允许u，v或z等于0。在sect;5中，我们确定了per(L)和det(L)中每个二元单项的系数。

如果存在一个置换sigma;isin; Sn使得，换句话说，如果一个变量可以通过重新标记和/或乘以minus;1转换成另一个变量，则F和G是相似的。行列式的相似性（或类似的恒量）导致了等价拉丁方。本文的一个目的是为了更好地理解等价类这种关系。

两个拉丁方L和M同构，如果其中一个可以通过行排列、列排列和符号排列，我们就说L和M是同阶的，或是M的转置的同构，那么M是三阶的。这个拉丁方的集合，是L的三阶类。从定义中可以立即看出，在同一个三阶类中的两个拉丁方必须具有相似的行列式和相似的恒量。更有趣的是，在第6节中，我们将看到常规拉丁方族的例子，不同的三阶类有相似的行列式和相似的恒量。这将使我们能够回答几个由Ford和Johnson[9]提出的问题，他们研究了具有类似行列式的拉丁方。

对于与有限群的Cayley表同位的拉丁方，Formanek和Sibley[10]和Mansfield[15]证明了行列式决定了群。第3节中的恒量有类似的结果。

在第4节中，我们提供了三阶类不变量的细节，当且仅当它们属于同一三阶类时，我们用来验证两个最多八阶的拉丁方具有相似的恒常值。但是，在sect;6中我们指出，同样的陈述对于9阶是不成立的。

本文的观点可以追溯到群体表征理论的基础上。有关详细信息，请参见[6,11,14]，但简要总结如下：Frobenius在Dedekind的提示下，在描述群行列式的因式分解的过程中，发明了群字符。群矩阵类似于块对角矩阵，其中每个块是不可分解的，对应于一个不可约表示。对应于块的字符本质上是该特征的第一个非零系数块的多项式。现代研究进一步研究了包含在行列式。然而，即使在群体案例中，也只有一小部分迄今为止信息已被充分利用。本文研究了如何推广Frobenius等人的思想，从而得出与拟群的组合和代数性质有关的不变量。我们希望这为进一步研究[1]和[2]的结果奠定理论基础。

2.符号和术语

在本节中，我们收集了一些符号和术语，它们将在整个论文中使用。自始至终都假定L表示n阶的拉丁方。行和列L的值将被[n]索引。通过L的对角线，我们将表示L的不同行和不同列。恒量和行列式的都定义为对角线上条目的乘积。

对于每个拉丁方，n阶，k阶isin; [n] 我们定义依，如果。现在，对于每个有序对（e，f）isin; [n] times;[n]，依据定义isin;。对于iisin; [n] ，我们发现是包含的列的下标出现在列i的同一行。我们说是符号对应于对（e，f）的置换。因为是一个无序的可以写成不相交环的乘积，

（1）

每个长度至少为2。循环的长度用i表示，这样我们就有1 2 hellip; q=n。与每个相对应，f是由符号、在由排列的列中的2i次出现组成的符号循环。根据[19]中并在此后的许多论文中使用的公约，我们说对应的符号周期的长度是i。循环的长度theta;（1）e，f，theta;（2）e，f，hellip;，theta;（q）e，f可用于定义序列e，f=（1，2，hellip;，q），其中假设jle; j 1，所有jisin; [Qminus; 1].

同样，对于每个risin; [n] 我们可以用来定义[n]的置换当且仅当。然后我们定义，对于每个r，sisin; [n] ，由组成[n]的行排列。同样，对于任意两行，可以使用相应的行排列被认为是与行循环相对应的不相交循环的组合。同样地，对于任意两列，我们可以在集合[n]上定义一个列排列，这是一个与列循环相对应的不相交循环的组合。注意如果两个拉丁语正方形，A和B，是同位素，那么行排列之间就有对应关系A的行置换（列置换）和B的行置换（列置换）。对于详细研究小拉丁方中的行、列和符号循环，见[20]。

我们可以把和一个拟群（[n]，◦）联系起来，其中i◦ j=khArr;。根据这种解释，是排列k/j→ j代表所有jisin; [n] ， /表示拟群中的右除。另外，是元素r的左平移（即在左边乘以r）。类似地，是r的右平移。由构成的集合被称为乘法组或L的全映射群，表示为Mlt（L）。

正如在引言中提到的，同构包括排列行，排列列和排列拉丁方的符号。因此，可以观察同构作为Sntimes;Sntimes;Sn对n阶拉丁方的作用。在这种作用下，一个拉丁方的稳定子是它的自同构。关于自同构的详细研究见[17]。拉丁方还有另外两个熟知的的作用。群取1到6个共轭拉丁方。把这个和同构结合起来，给出了在拉丁方上的环积Sn~S3。拉丁方L的自同构在这个作用下称为L的自平行群，我们称之为Par（L）。

3.群中的CAYLEY量表

在本节中，我们将任何组的Cayley量表解释为拉丁方。我们证明了Cayley量表的恒量决定群，前提是标识元素已知。

设G为n阶群，nge;3设ε为G的单位元。集团矩阵是右除运算的拉丁方；它有个单元（g，h），g，hisin; G。通过列排列，很明显是G的通常Cayley量表的同型，该表的单元（g，h）中含有。考虑中的系数，发现是3次齐次多项式。在接下来的讨论中，没有假定g，h，k是不同的。

引理3.1. 假设g，h，k是G的非恒等元。单项式当且仅当ghk=ε和/或gkh=ε时，出现在中。单项式出现在中当且仅当。

证明. 假设以单项式形式出现在中，g，h，kne;ε。对行和列应用相同的适当选择的排列后，矩阵可以划分为

,

其中A的维度为（nminus; 3）times;（nminus;3），并且

，

其中作为多重集和（我们可能忽略的可能性，因为在这种情况下交换最后一对行最后一对列将D放入排列中）。

因此，每个单项式

，

以每（）为单位，具有非零系数（（2）中不小于其系数）。

假设在指示的顺序下，的最后三行和列由p、q、r索引。随后，以及，且。这意味着ghk=ε或gkh=ε。

现在假设ghk=ε。考虑上面给出的分区，的最后三行和列都被索引，用于任意zisin; G、 按，和。由此可见，，而且，为单项式，单位。

我们还需要考虑形式的单项式。假设最后三行的指数为p，q，r。如果出现在per（D）中，则{g，h}必须为等于{alpha;，mu;}，{beta;，nu;}，或{lambda;，gamma;}中的一对。现在，类似地，，所以。

相反，假设。.如果z是G的任意元素，则q=z，，由此可知，，因此在中为单项式。

于是引理被证明。

引理3.1中，per()包含了确定所有三元组(g, h, k)的信息。如或。此外，per()包含从k确定的信息。因此，对于每对 (g, h)，集合{gh, hg}是已知的。

下面的引理已经在一些地方出现过(例如，参见[16])。回想一下，如果f (gh) = f (h)f (g)对于所有g, h，两组之间的双射f是反同构。

引理3.2. 如果G, H是有限群，并且存在一个双射f: G→H，使得对于所有G, Hisin;G, f (gh)要么是f(g)f(h)，要么是f(h)f(g)，那么f要么是一个同构，要么是一个反同构。

现在我们可以证明本节的主要结论

定理3.3. 设和为和分别为单位元的两个有限群G和H的Cayley量表。如果per()通过将映射到 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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