关于数形结合在高等数学启发式教学中的作用的探讨外文翻译资料

关于数形结合在高等数学启发式教学中的作用的探讨

作者：谢文浩、孙小群、梁金金、王晓燕

国籍：中国、中国、中国、中国

出处：高等学校教育与教学会议（CETCU 2015）

中文译文：

摘要——数和形状是数学研究中的两个重要的研究对象。数与形状相结合的这一方法，使数与形状产生一种联系。启发式教学是一种（授课教师）可以根据教学内容的特点以及综合学生的知识水平和思维水平，引导学生逐步积极思考、积极学习的教学思想。本文探讨了数形结合在高等数学启发式教学中的现实意义。而通过具体的案例分析，我们可以更明晰地认识到采用这种教学方法可以使学生更深入地理解高等数学知识内部的联系并且增加学生参与课堂教学活动的热情。

关键词——数形结合；启发式教学；高等数学。

Ⅰ.介绍

启发式教学是一种指导思想而不是一种具体的管理方法。关于《高等数学》启发式教学的探讨，既没有固定的教学模式，也没有固定的教学方法。具体而言，这要能体现启发式教学基本特征的教学方法都可以称之为启发式教学法^[1]。

启发式教学需要授课教师通过某些适当的教学方法，（在课堂中）引导学生，使学生通过自己的努力来获取知识。这样做的目的主要是将学生作为课堂教学活动的主体，来激发学生的积极思维并培养他们学习的主动性和热情。而且启发式教学可以激起学生获取知识的内在动机并且激发学生学习和发现科学的一种欲望。

数形结合其实是一种数学的思维方法；它结合了抽象的数学语言和数量关系与直观的几何图形和位置关系。而通过抽象思维和想象思维的一种结合，可以把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，从而达到使求解问题的方式更优化的目的。其中数形结合包括“以数解形”和“以形助数”两个方面。

Ⅱ.数形结合在高等数学启发式教学中的重要性

数形结合教学思想在启发式教学中的作用^[2]：

• 数形结合教学思想能有利于学生更加深入地理解数学概念；数形结合教学思想使学生​​对数学概念的理解变得完美而和谐。而且这种知识理解和知识详述的过程同时也是引导学生积极探索的过程，并不是一种盲目的“灌输”。
• 数形结合这一教学思想在启发式教学中的应用能够帮助学生去深化数学思维，学会用多视角、多方法来解决数学问题。而这种数学思维的训练不但可以培养和提高学生的学习能力还能培养和提高学生运用知识的能力。
• 数形结合在启发式教学中的应用能帮助培养学生的直觉思维能力并且能够深入地理解数学问题的本质
• 数形结合教学思想可以帮助学生感受数学之美。

Ⅲ. 数形结合在高等数学启发式教学中的应用

1. 在课堂导入中，如果能适当地引入数形结合的教学方法，学生就可以轻松进入教学情境，从而激发学生自觉积极地思考，自然地接受新知识。

例1：在“定积分的定义”这一部分，在提出“曲线梯形”面积计算问题之前，我们可以这样安排教学环节：首先，我们先画三个图形：l.矩形（图1);2.我们将矩形的一侧改为微小的连续的曲线弧度(图2);3.我们将图2中的微小的连续的曲线弧度改为一条连续变化的大范围曲线(图3)。（在画完这三个图形之后）让学生分别计算这三个图形的面积。其中，图1的面积最容易计算，因为矩形的面积等于长度乘以高度。对于图2，由于弧的高度变化十分微小，所以我们近似用在折边处点的高来代替其他的点，也就是说，我们使用了用直线去替换曲线，并用矩形的面积去替换弯曲的梯形的面积的一个想法。当然，曲线梯形的“曲线高”变化越小，近似替换的精度就能够越高。在计算图3的面积时，由于“曲线”的变化较大，因此，如果直接使用图2的方法进行近似替换，则误差会更大。（在这种情况下）我们该如何去启发学生运用用直线代替曲线的想法，从而得到更小的误差？（在学习完图二面积的计算过程后）学生可能会想到使用图2的方法。然后，我们将进一步启发学生：我们该如何参考图2的情况去计算呢？可能有同学会提出底边可以划分成很多的小区域，而且由于曲线是连续的，所以在很小的范围内，这条曲线的变化很小，因此我们可以用图2的方法来计算每个小曲面梯形的近似面积，然后我们可以通过求每个小曲面梯形的近似面积之和来计算大曲面梯形的近似面积。这样我们就可以很自然地引入这种“分割、近似计算、求和、取极限”的方法，最终我们就可以得到曲线梯形的面积，从而引出定积分的定义。

图1：矩形

图2：具有微小变化的连续曲线的弯曲梯形

图3：具有大变化的连续曲线的弯曲梯形

B. 在教学过程中，为了使学生能够加深对一些重要定义和定理的理解，（为了达到这个目标）教师如果能很好地结合图形来设计教学方法从而去引导学生进入教学步骤，就可以帮助学生更好地理解定义和定理。数形结合的教学方法将获得意想不到的教学效果。

例2：在“微分的中值定理”一节中，在证明了“罗尔定理”之后，我们要特别强调“罗尔定理”的三个条件：1.在闭区间上连续；2．在开区间上可导：3.（取区间的端点，记为a和b，存在）f(a)=f(b)。为了让学生加深对这个定理的条件的理解，我们绘制如下三个函数图形（图4-图6），它们分别不能满足罗尔定理的第一个、第二个和第三个条件的需要。在这三种情况下，我们很容易从图中看出（只满足其中一个条件的）“罗尔定理”的结论是不成立的。不用繁琐的证明，只需要通过三个特殊的函数图形，我们就可以让学生轻松地记住定理的所有条件。

图4：不满足“罗尔定理”的第一个条件

图5：不满足“罗尔定理”的第二个条件

图6：不满足“罗尔定理”的第三个条件

C. 如果在从旧知识到新知识的过渡过程中，教师能巧妙地运用图形，不仅能够激发学生对新知识的探索热情，还能让学生对已学的知识留下深刻的印象。

例3：在“微分的中值定理”一节中，在从“罗尔定理”到“拉格朗日中值定理”这一过程中，我们为学生解释了“罗尔定理”的几何意义：如果一个函数在闭区间上连续和在开区间上可导并且在区间端点上具有相等的值，这说明区间端点之间的连线是水平的，所以“罗尔定理”的结论告诉我们：至少我们可以在区间内找到一点，使曲线在这点的切线平行于弦AB（图7）。那么，我们可以让学生思考这样一个问题：如果我们自由选择曲线的一条弦的两个端点，比如A和B，也就是说，这个和弦并不总是水平的。我们能否据此推导出“罗尔定理”的结论？即对于任何弦，我们能否在开区间内找到一点，使在这点的曲线的切线与弦AB平行？然后我们将绘制图形。这样的数形结合不仅可以引导学生积极思考，还可以从图形（图8）中找出我们提出的问题的正确答案，这就是“拉格朗日定理”的结论。因此，“拉格朗日定理”是从“罗尔定理”推导出来的，而实际上，是我们推广了“罗尔定理”的条件，换句话说，“罗尔定理”是“拉格朗日定理”的一种特例。这样的介绍，（授课教师）不仅可以（帮助学生）实现新知识和旧知识的自然过渡，而且可以让学生加深对两个定理关系的理解。

图7：罗尔定理

图8：拉格朗日定理

Ⅳ.结论

通过前面的案例分析，教师如果能正确、恰当地将数形结合的方法运用到《高等数学》的启发式教学中，这将在很大程度上促进学生学习高等数学的热情，并且培养他们主动学习的一种能力，以便学生把握知识点之间的联系，也是提高学生能力的一种有效途径。（数形结合方法与启发式教学的有机结合）将对推动教学改革、提高教学质量起到积极而重要的作用^[3]。

致谢

感谢审稿人的辛勤工作。感谢西安石油大学院长办公室和西安石油大学理学院的资助和支持。

参考文献

[1] 邓志平. '《高等数学》启发式教学浅析',黑龙江省高等教育研究,58-59页,1995年6月.

[2] 李娜娜. '数形结合教学法探讨',内蒙古师范大学学报,第2期.26,第 141-142页,2013年4月.

[3]李保平.'启发式教学在语文教学中的应用《高等数学》',高等教育之窗,第156页,2010年3月.

附：外文原文

The discussion on the combination of Number and

Shape in the heuristic teaching of higher

Mathematics

Wenhao Xie Xiao qun Sun

School of Mathematical Sciences School of Mathematical Sciences

Xirsquo;an Shiyou University Xirsquo;an Shiyou University

ShaanXi, Xirsquo;an ShaanXi, Xirsquo;an

1609632928@qq.com 409802000@qq.com

Jin jin Liang Xiaoyan Wang

School of Mathematical Sciences School of Mathematical Sciences

Xirsquo;an Shiyou University Xirsquo;an Shiyou University

ShaanXi, Xirsquo;an ShaanXi, Xirsquo;an

myonlyonly@126.com shiyouwxy@126.com

Abstract——Number and shape are the important research objects in the mathematical research. The method of combination of Number and Shape make the number and shape to produce the connection. Heuristic teaching is a kind of teaching thoughtthat can guide students think positively step by step and learn actively according to the characteristics of the teaching content and students knowledge and thinking level. This paper discussesthe practical significance about the combination of Number and Shape in the heuristic teaching of higher mathematics. Through specific case analysis, we recognize that the use of this teaching method can make students more deeply understand the connection inside the higher mathematics knowledge, and improve the enthusiasm of students to participate in classroom teaching activities.

Keywords——The combination of Number and Shape; Heuristic teaching; Higher mathematics.

Ⅰ. I NTRODUCTION

Heuristic teaching refers to a kind of guiding thought rather than a kind of specific supervising method. The discussion about heuristic teac

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