数学哲学外文翻译资料

数学哲学

作者：Otaacute;vio Bueno

国籍：美国

出处：Philosophies of the Sciences: A Guide

中文译文：

在这篇文章中，我考察了三个相互关联的关于数学哲学的问题。第一个是在本体论中的问题：数学对象是否存在，如果存在，那么它们是什么样的物体呢？第二个是在认识论中的问题：我们如何拥有数学知识？第三个是关于数学的应用问题：数学如何应用于物理世界？当然，这些问题是相互联系的，我会通过研究数学的不同哲学概念来探索它们之间的关系。我从四个版本的柏拉图主义（弗雷根柏拉图主义，哥德尔柏拉图主义，蒯因柏拉图主义，结构主义柏拉图主义）开始探索，同时我还关注不同的已经被发展来解释数学知识可能性的认识论策略。根据这些观点，我得出数学对象是存在的但它不是物理上的扩展的结论，那我们如何有序的拥有这些对象的知识？然后，我又考虑了三种能够替代否认数学对象的存在的唯名论的方法（数学虚构主义、模态结构主义和通货紧缩的唯名论)。有了这种否定，唯名论者尤其欠我们一个数学应用的解释。然后，我检查他们的策略，让这个问题有意义，尽管不存在数学实体。最后，我将各种问题和哲学观念结合起来，对本文进行了总结。

1. 介绍

数学哲学作为一种对数学的哲学反思，历史悠久，它与哲学本身的发展也有着错综复杂的联系。西方哲学中的一些核心人物，从柏拉图和亚里士多德，到笛卡尔和莱布尼茨，再到康德和卡尔纳普——他们对于在他们所处的时代中发展起来的数学有着很深的了解。事实上，他们许多最杰出的工作都是对数学可用的仔细考虑而受到的启发，其中一些人（如笛卡尔和莱布尼茨）也对数学本身做出了经久不衰的贡献。

在这篇文章中，我不提供数学哲学的历史概述，而是将重点放在该领域的一些核心问题上，让读者了解到当前的一些争论在哪里。具体来说，我将研究三个相互关联的问题。首先，我将考虑一个本体论问题：数学对象的存在和本质问题。它们存在吗？什么是数学对象呢？它们是独立于思维的抽象实体（即独立于我们而存在的实体，但不存在于时空中)，还是数学对象是特定的思维结构（在数学家的头脑中执行某些操作的结果) ？此外，数学对象应该被视为个体实体（如特定的数字），还是作为整体结构（如数字之间的各种关系）？对于如何回答这些存在重大分歧的问题，我也提出了不同的建议来支持相应的答案。

其次，我将研究一个有关我们数学知识本质的认识论问题。我们怎么知道我们已知的数学？我们是否有某种接触数学对象的方法形式，并且它类似于对物理对象的感知？如果数学对象是独立于我们而存在的抽象实体，那么数学知识又如何存在可能性？因此，我会持不同的观点来设法解决这些问题。

最后，我将讨论数学的应用问题。数学是如何应用于物理世界？我们是否应该认为数学对象对于物理世界中最好的理论是不可或缺的？也就是说，这样的理论在不参考数学对象的情况下能被表述出来吗？如果数学对象确实是不可或缺的，那是否要求我们致力于发现它们的存在？

显而易见的是，这三个问题紧密相连，其中一个问题的答案将制约并在一定程度上塑造其他问题的答案。一般来说，要发展一种特定的数学哲学，至少要发展对这些问题的看法。至少那些系统地研究过数学哲学的人是想试图这样做的。因此，我将把它们作为不同数学概念发展的一部分一起考虑，而不是单独研究这些问题。我将从描述四个在数学上的不同版本的柏拉图主义——根据数学对象的存在和它们是抽象的——以及这些不同的建议是如何解决这些问题。然后，我将考虑数学上的唯名论的三种版本——根据这些版本，数学对象不存在——并讨论唯名论者是如何重新概念化这些问题。

与大多数哲学建议一样，本文讨论的这些建议也面临着挑战。尽管如此，我还是决定把重点放在他们所做的积极贡献上，而把对他们缺点的评估留给另一个场合。即使这些建议都没有解决我们所考虑的问题，但每一个都对我们理解数学的哲学问题上做出了重大贡献。仅出于这个原因，它们就值得仔细研究。

1. 数学上的柏拉图主义

数学哲学的基本本体论问题是关于数学对象的存在问题。柏拉图主义者认为，数学对象是独立于我们而存在。它们不是心灵依赖，因为它们的存在不是我们的心理过程和语言实践的结果。此外，它们是抽象的，也就是说它们没有物理的外延（它们不在空间和时间上）。所以，数学对象并不是那种我们认为会有因果相互作用的东西，因为我们只能和物理对象有因果相互作用。例如，投手一次只投一个球，当击球手击中那个球时，他并没有击中一号，这就像他无法拨打一个没有物理分机的号码。他只能击中一个物理对象，那就是棒球。

柏拉图主义者认为，数学对象不仅存在，而且必然存在。也就是说，那些确实存在的对象必然会这样做。根据这一概念，数学对象不可能不存在。这种必要性的根源是什么？换句话说，有没有什么东西使数学对象成为必然存在的实体？很明显，这里没有因果过程，考虑到数学对象的因果惰性。所以，这种必要性有其他的原因。一些柏拉图主义者的答案是。

柏拉图主义有不同的形式。这里我将考虑其中的四个：弗雷根柏拉图主义（弗雷格 1974, 黑尔和莱特 2001），哥德尔柏拉图主义(哥德尔1964，马迪1990)，蒯因柏拉图主义（蒯因1960年，科利万2001年)，和结构主义柏拉图主义（雷斯尼克 1997, 夏皮罗 1997)。鉴于所有这些观点都是柏拉图主义的特殊形式，它们都有一个共同的论点：数学对象（在这里被广泛理解为包括数学结构)存在；独立于大脑之外；并且是抽象的（也就是说，它们没有物理上的扩展）。尽管有这些共同特征。这些观点之间存在着显著的差异。我将在下面探讨其中一些。

2.1弗雷根柏拉图主义

对弗雷根柏拉图主义者来说，数学对象的抽象特征来自于它们本身：属于特定范畴的对象概念。正如我们所见，弗雷根概念是抽象的，独立于思维的事物；数字和其他数学对象从它们所属的概念中继承了同样的抽象特征。弗雷根柏拉图主义者不难理解数学的客观性，因为涉及到表征的概念具有思维独立性。弗雷格提出这个建议的动机，最初是为了理解算术，是出于提供逻辑上的算术公式的需要。弗雷格发展了第一个正式的符号逻辑系统，他的目标是证明算术概念可以简化为逻辑概念——比如同一性、谓词、否定和连接——加上一些定义。因此，弗雷格就是我们现在所说的算术逻辑学家。在上面讨论的例子中，数字零的特征是否定、同一性和谓词（即，属于与自身不相同概念的对象的数量）。

弗雷格策略的核心是现在被称为休谟原则的运用：当且仅当两个概念之间存在一对一的对应关系时，它们才是无限的。休谟原理被应用于许多关键的地方，例如，证明数字0和数字1是不同的。回想一下，0概念的特征是属于与它本身不相同的概念下的物体的数量，而概念1，反过来，也以与0相同的概念为特征。现在，考虑到任何事物都不属于与自身不相同的概念，只有1这个物体属于与0相同的概念，根据休谟的原则，这两个概念并不是无穷无尽的。因此，0与1是截然不同的。

2.2哥德尔柏拉图主义

如果对弗雷根来说，算术最终可以在二阶逻辑加上休谟原理中推导出来，那么对于像库尔特·哥德尔这样的人来说，基本数学公理的真理可以直接通过直觉得到（见哥德尔 1964, 马迪 1990）。弗雷格认为，直觉在我们如何认识几何原理的真理方面发挥了作用（对他来说，追随康德，这些原理是先天合成的）；但是从逻辑推导出来的算术是分析性的。然而，对于哥德尔来说，不仅算术原理，集合论的公理也可以通过直觉来直接理解。哥德尔声称，我们有“类似于集合论对象的一种感知”（哥德尔1964，485）。也就是说，我们能够“感知”这些物体具有某些属性而缺乏其他属性，就像我们感知周围的物理对象一样。我们对集合论的对象有这样一种感知应该是“从[集合论的]公理迫使我们自己来看这一事实”（哥德尔 1964, 485）。

2.3 蒯因柏拉图主义

哥德尔柏拉图主义者探索了数学对象的“感知”和物理实体的感知之间的一些联系。蒯因柏拉图主义者则在数学和实证科学之间建立了更紧密的联系。如果你有强烈的唯名论倾向，但最终发现，当你试图理解世界上最好的理论时，而你无法避免地致力于数学对象的存在，你可能是一个蒯因柏拉图主义者。蒯因本人就是这样一个柏拉图主义者（见蒯因1960年）。即使当他承认数学对象在形成我们世界上最好的理论中扮演着不可或缺的角色时，蒯因也坚持认为他只致力于一种数学对象:阶级。他所需要的所有其他数学对象，如数字、函数和几何空间，都可以从它得到。

2.4 结构主义柏拉图主义

数学结构主义的关键特征是将数学概念转化为对结构的研究，而不是对对象的研究。不同形式的结构主义提供了不同的结构解释（参见，例如，雷斯尼克 1997, 夏皮罗 1997）。但对结构主义者来说，至关重要的是，无论人们考虑的是哪种数学对象，只要它们满足相关结构能足以解释数学知识的可能性。

我们在雷斯尼克对结构主义的辩护中发现了这一变化。为了解释数学知识的可能性，雷斯尼克引入了模板的概念，它是一个具体的实体——包括图纸、模型、蓝图等东西——旨在将我们经验的具体方面与抽象模式（雷斯尼克的术语，即结构）联系起来。其关键思想是，模板和模式之间存在结构关系（如同构），并允许我们通过前者来表示后者。尤其因为模式和模板两者之间存在着这样的结构关系，所以数学家可以使用证明——通过特定的操作创建和操作具体模板来生成关于抽象模式的信息的过程（雷斯尼克 1997, 229-35）。并且假定数学家只能访问模板，而不能直接访问模式中的位置——也就是说，不能直接访问数学对象——在雷斯尼克的观点中是预设的。

3.数学中的唯名论

在描述了上面柏拉图主义的建议之后，我现在将考虑一些唯名论的选择。特别是，我将检查:数学虚构主义（菲尔德 1980, 1989)，模态结构主义（普特南 1967, 赫尔曼 1989）和通货紧缩唯名论主义（阿佐尼 2004)。所有这些建议的共同之处在于，它们不需要借助数学对象（或结构）来存在。事实上，他们否认自己的存在。因此，柏拉图主义（解释我们如何拥有数学知识）所面临的主要困难就消失了，但其他问题也随即出现了。在这个过程中，这些唯名论的建议提供了对数学独特的理解。

4．结论

在对数学哲学的中心问题和建议的调查中，我们看到了关于数学本体论的问题，柏拉图主义者和唯名论者提出了重要的不同的概念。柏拉图主义者有一个显著的优势，那就是能够从字面上理解数学论述;也就是说，他们不需要重写数学（和科学）理论来避免对数学对象的承诺。除了通货紧缩唯名论者有例外的可能，所有其他唯名论者的观点都必须创造一个平行的论述来适应数学。也就是说，他们必须用一种名义上可接受的语言（通过使用虚构的操作符或合适的情态语言）来重新表述问题中的理论。

反过来，柏拉图主义者面临着一个重大的挑战，那就是如何理解我们怎样能够拥有抽象数学对象和结构的知识，而这些对象和结构我们是无法获得因果关系的。如我们所见，各种认识论策略被设计出来。从数学对象是在逻辑概念中产生（在弗雷根柏拉图主义中）对于重构的解释，通过基于基本数学事实的直觉的解释（在哥德尔柏拉图主义中)，再到使用具体模板作为我们对抽象模式的认识的载体（在结构主义柏拉图主义中），柏拉图主义者花费了大量的资源试图弄懂数学知识。然而，这并不是唯名论者所面临的问题。坦率地说，如果数学对象不存在，我们不需要解释我们是如何认识它们的。

然而，理解数学的应用就成为唯名论者的一个重要问题。如果数学对象不存在，我们如何理解数学应用于物理世界的成功？唯名论者为了直接解决这个问题，设计了一些策略来解释这种成功，尽管数学对象并不存在。他们强调，只要数学理论是保守的（在数学虚构主义中），或者强调可能结构在数学应用中所起的作用（在模态结构主义中），数学理论就不一定是正确的。但对于通货紧缩唯名论者来说，数学应用的问题只是一种人工产物——一种不是哲学问题的哲学创造（阿佐尼 2000）。应用数学，就像它的纯对应物一样，包括从什么得出什么。问题是，通常在每一种情况下的结果是不透明的，特别是那些涉及描述物质世界各个方面的前提的结果。最后，在我们这里，这看起来并不是一个特殊的哲学问题。

附： 外文原文

Philosophy of Mathematics

Author：Otaacute;vio Bueno

Country：USA

Source：Philosophies of the Sciences: A Guide

In this essay, I examine three interrelated issues in the philosophy of mathematics. The first is an issue in ontology: do mathematical objects exist and, if so, what kind of

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Philosophy of Mathematics

Author：Otaacute;vio Bueno

Country：USA

Source：Philosophies of the Sciences: A Guide

In this essay, I examine three interrelated issues in the philosophy of mathematics. The first is an issue in ontology: do mathematical objects exist and, if so, what kind of objects are they? The second is an issue in epistemology: how do we have mathematical knowledge? The third is an issue about the application of mathematics: how can mathematics be applied to the physical world? These issues are, of course, interconnected, and I explore the relations between them by examining different philosophical conceptions about mathematics. I start with four versions of Platonism (Fregean Platonism, Gouml;delian Platonism, Quinean Platonism, and structuralist Platonism), and I focus on the different epistemological strategies that have been developed to explain the possibility of mathematical knowledge. Given that, on these views, mathematical objects exist and are not physically extended, accounts of how we can have knowledge of these objects are in order. I then consider three alternative nominalist approaches (mathematical fictionalism, modal structuralism, and deflationary nominalism), which deny the existence of mathematical objects. With this denial, nominalists owe us, in particular, an explanation of the application of mathematics. I then examine their strategies to make sense of this issue, despite the non-existence of mathematical entities. I conclude the essay by bringing together the various issues and the philosophical conceptions.

1. Introduction

Understood as a philosophical reflection about mathematics, the philosophy of mathematics has a long history that is intertwined, in intriguing and complex ways, with the development of philosophy itself. Some of the central figures in western philosophy – from Plato and Aristotle through Reneacute; Descartes and Gottfried Leibniz to Immanuel Kant and Rudolf Carnap– had more than a simple acquaintance with the mathematics developed in their own times. In fact, much of their best work was inspired by a careful consideration of the mathematics available to them, and some of them (such as Descartes and Leibniz) made lasting contributions to mathematics itself.

In this essay, rather than providing a historical overview of the philosophy of mathematics, I will focus on some of the central issues in the field, giving the reader a sense of where some of the current debates are. In particular, I will examine three interrelated issues. First, I will consider an ontological issue: the issue of the existence and nature of mathematical objects. Do they exist? And what kinds of things are mathematical objects? Are they mind-independent abstract entities (that is, entities that exist independently of us, but which are not located in space-time), or are mathematical objects particular mental constructions (the result of certain operations performed in the mathematiciansrsquo; minds)? Moreover, should mathematical objects be thought of as individual entities (such as particular numbers), or as overall structures (such as various relations among numbers)? There are significant disagreements about how these questions should be answered, and distinctive proposals have been advanced to support the corresponding answers.

Second, I will examine an epistemological issue pertaining to the nature of our mathematical knowledge. How do we know the mathematics that we know? Do we have some form of access to mathematical objects akin to the perception of physical objects? And how is mathematical knowledge possible if mathematical objects are taken to be abstract entities that exist independently of us? Once again, distinctive views have been developed to address these problems.

Finally, I will discuss the problem of the application of mathematics. How can mathematics be applied to the physical world? Should we take mathematical objects to be indispensable to our best theories of the physical world? That is, can such theories be formulated in a way that they are without reference to mathematical objects? And if mathematical objects are indeed indispensable, does that require us to be committed to their existence?

As will become clear, these three issues are closely connected, and answers to one of them will constrain and, in part, shape answers to the others. Typically, to develop a particular philosophy of mathematics involves, at a minimum, the development of views about these issues. At least those who have approached the philosophy of mathematics systematically have attempted to do that. Thus, instead of examining these issues separately, I will consider them together, as part of the development of different conceptions of mathematics. I will start by describing four different versions of Platonism in mathematics – according to which mathematical objects exist and they are abstract – and how these various proposals have addressed the issues. I will then consider three versions of nominalism in mathematics – according to which mathematical objects do not exist – and discuss how these issues have been re-conceptualized by nominalists.

Like most philosophical proposals, those discussed in this essay face challenges. Nevertheless, I have decided to focus on the positive contributions they have made, leaving the assessment of their drawbacks for another occasion. Even if none of these proposals has settled the issues under consideration, each has made significant contributions to our understanding of the philosophical issues about mathematics. For this reason alone, they deserve close study.

1. Platonism in Mathematics

The basic ontological question in the philosophy of mathematics deals with the issue of the existence of mathematical objects. According to the Platonist, mathematical objects exist independently of us. They are not mi

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