第三章 解析函数的初等性质和例子外文翻译资料

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第三章解析函数的初等性质和例子
sect;1.幂级数

在这一节里，我们将给出幂级数的定义和基本性质，然后和用幂级数来给出解析函数的例子，为此有必要先给出有关C内无穷级数的某些初等事实，对R内的无穷级数，这些事实读者应是熟知的.设对于每个nge;0，a_n在C内，称级数，收敛到z，当且仅当，对于每一个gt;0，存在一正整数N，使得当mge;N时，|-z|＜.如果收敛，则称级数绝对收敛.
1.1命题 如果Sigma;an绝对收敛，那么Sigma;an收敛.证明设gt;0,令z_n=a_o a₁ hellip; a_n，因为收敛，所以存在正整数N，使得。于是，如果mge;kge;N，

即{z_n}是Cauchy序列，所以在C内有一点z，z=limz_n.因此=z.
回顾R内的序列上极限和下极限的定义.如果{a_n}是R内的序列，那么定义
lim infa_n=[inf{a_n,a_{n 1},hellip;}],
lim supa_n=[a_n,a_{n 1}sup[,hellip;}].

lim infa_n，和lim supa_n的另一个记号是a_n和a_n.如果b_n=inf{a_n，a_{n 1},hellip;}，

那么{b_n}是实的递增序列，或是{-infin;}.因此，lim infa_n总是存在的，虽然它可

能是plusmn;infin;.类似地，lim supa_n总存在，虽然它可能是.
lim inf和lim sup的若干性质包含在这一节的习题中，在a点附近的幂级

数是形如的无穷级数.幂级数的一个最容易的例子（也是最有用的）

是几何级数了对于的哪些值这个级数是收敛的?什么时候这个级数是发

散的？容易看出，1-z^{n 1}=(1-z)(1 z z² hellip; zⁿ），所以
1.2 1 z hellip; z^n.

如果|z|lt;1，那么0=limzⁿ.所以几何级数是收敛的，并且有。如果

|z|gt;1，那么limzⁿ=infin;，级数发散.这个结果不仅是一般幂级数的收敛情况的模型，

而且是探讨幂级数的收敛性质的工具。
1.3定理 对于给定的幂级数，由=limsup,定义数R,0

le;Rle;infin;，那么：

（a)如果|z-a|lt;R，则饭数绝对收敛；

（b)如果|a-a|gt;R，则级数的项无界，所以级数发散；
（c)如果Olt;rlt;R,则级数在{z:|z|le;r}上一致收敛，

并且，具有性质（a)和(b)的数R是唯一的.
证明 我们可以假定a=0.如果|z|lt;R，那么有一r，满足|z|lt;rlt;R.于是存在正整

数N，使得lt;，对于所有的nge;N成立(因为gt;).但是这时，|a_n|lt;，所以对

于所有的nge;N,.这就是说，余项圈于级数,并且因lt;1,

所以对于每个z，|z|lt;R,这个幂级数绝对收敛.现在设rlt;R,选取，使得rlt;lt;R,与

上面一样，设N是一正整数，使得对于所有的nge;N，|a_n|lt;，那么，如果|z|le;r，

便有,因此由WeierstrasM-判别法，幂级数在{z:|z|le;r}上一致

收敛.这就证明了（a）和(c)，
为了证明（b)，设|z|gt;R.选取个，使得|z|gt;rgt;R.因此.由lim sup的定义，

有无穷多个n使得，由此推出.因为gt;1，所以这些项是

无界的.
数R称为幂级数的收敛半径.
1.4命题 如果Sigma;a_n(z-a)ⁿ“是一个给定的幂级数，收敛半径为R，

则

R=lim|a_n/a_{n 1}|,

如果右边的极限存在.
a_n|sⁿ Sigma;|b_n|sⁿ“lt;infin;；由此

容易完成命题的证明证明 仍然假定a=0.设a=lim|a_n/a_m|，我们假定这个极限存在，设|z|lt;rlt;a，并

且取正整数N，使得对于所有的nge;N，有rlt;|a_n/a_{n 1}|，令B=|a_n|r^N，那么

|a_{N 1}|r^{N 1}=|a_{N 1}|rr^Nlt;|a_N|r^N=B；|a_{N 2}|r^{N 2}=|a_{N 2}|r.r^{N 1}lt;|a_{N 1}|r^{N 1}lt;B；如此继续下去，我们得到|a_nrⁿ|le;B对于所有的nge;N成立.但是这时对于所有的nge;N，|a_nzⁿ|=|a_nrⁿ|.因为|z|lt;r所以我们得到囿于一收敛级数，因此是收敛的.由于rlt;a是任意的，所以ale;R.

另一方面，如果|z|gt;rgt;a，那么对于大于某一正整数N的所有的n，|a_n|lt;r|a_{n 1}|.如前所述，我们得到，对于nge;N,有|a_nrⁿ|ge;B=|a_Nr^N|,这就给出，它当n趋于infin;时而于infin;.因此级数发散.所以Rle;a,于是，R=a。考虑级数，命题1.4，这个级数的收敛半径是infin;，因此对于每个复数，它是收敛的，并且在C内的每个紧子集上一致收敛、为了和微积分学一致，我们把这个级数称为指数组数或指数函数

回顾无穷级数理论中的下述命题(不予证明），
1.5.命题 设Sigma;a_n，和Sigma;b_n是两个绝对收敛的级数，令那么Sigma;c_n

是绝对收敛的，其和为.
1.6命题 设Sigma;a_n(z-a)ⁿ和Sigma;b_n(z-a)ⁿ是收敛半径gt;rgt;0的两个幂级数，令

那么幂级数Sigma;(a_n b_n)(z一a)ⁿ和Sigma;b_n(z-a)ⁿ的收敛半径都大于或等于r,并且对于|z-a|lt;r,有

证明 我们只给出证明的梗概，如果0lt;slt;r，那么对于|z|le;s,我们得到

Sigma;|a_n b_n||z|ⁿle;Sigma;|.

sect;2.解析函数

在这节里，我们将定义解析函数并给出某些例子，还要证明解析函数的实和

虚部满足Oauchy-Riemann方程.
2.1定义 设G是C中的开巢，f：G→C.说f在G内的一点a是可微的，如

果

存在。这个极限值用(a)来表示，称为f在a点的导数，如果f在G的每一点

是可微的，我们就称f在G内是可微的，注意，如果f在G内是可微的，那么(a)

就定义了一个函数：G-C.如果是连续的，那么我们就说f是连续可微的，

如果是可微的，那么就说f是二次可微的；如此等等，一个可微函数，如果

它的各阶导数都是可微的，就称它是无穷次可微的.
(今后，除非作相反的声明，我们将假定所有的函数都在C中取值.）

2.2命题 如果f:G-gt;C在G内的a点是可微的，那么f在a点连续，证明事实上，
|f(z)-f(a)|=

=|(a)|.0=0
2.3定义 称函数f：G一gt;C是解析的，如果f在G内是连续可微的.如同如

同微积分学中一样，容易推知，在G内的解析函数的和，乘积仍是解析函数、还

有，如果f和g在G内是解析的，G₁是G内的点集，g在G₁内不等于零，那么f/g

在G₁内是解析的.
由于常数函数与函数f(z）一显然是解析的，由此推出，所有的有理函数在

分母的零点集的余集内是解析的。
此外，对于和、积、商的导数的通常法则仍然成立.
2.4链式法则 设f和g分别在G和Omega;内解析，f（G)sub;Omega;，那么在G内

是解析的，并且对于G内的所有z,有(gof(z)=(f(z))(z).
证明 在G内固定z_o并选取正数r使得B(z₀:r)sub;G.我们必须证明，如果

0lt;|h_n|lt;r，limh_n=0,则lim{h^-1[g(f(z_o h_n，)）-g（f(z₀））]}存在且等于

（f(z₀))(z_o).

情形1 设对于所有的n，f(z_o)ne;f(a₀ h_n，).在这种情形，

因为根据（2.2)lim[f(z_o h_n)-]=0，所以我们有
lim h_n^-1[gof(z_o h_n)一gof(z_o)]=(f(z₀))(z_o).

情形2 设对于无穷多个n的值，f(z_o)一f(z_o h_n）.将h_n，表为两个序列{k_n}

和{l_n}的和，其中f(z₀)ne;f(z_o h_n）和f（z₀)=f(z_o l_n)对所有的n成立.由于f是可微的，所以

(z₀)=liml_n^-1[f(z_o l_n)-f(z_o)]=0.

也有liml_n^-1[gof(z_o l_n)-gof(z₀)]=0
.

由情形1,

所以=(f(z_o))(z_o).
一般情形容易由上面两种情形推出。

为了定义导数，我们假定函数是定义在开集内的.如果我们说f是在集A上

解析的，而.A不是开集，我们的意思是指f在包含A的一个开集内是解析的.

解析函数论的书籍，并且上了一年解析函数的课程和讨论解析函数的这个定

义也许对许多读者来说有点反常，但是，班之后，他们会发现这个定义在微积分学中已经出现过，从而会解除一定的疑虑。但这个理论是微积分学的简单推广吗?回答是否定的.为了表明这两者之间有多么巨大的差别，让我们提一下，我们以后将证明可微函数是解析的.这的确是一个奇特的结果，在实变数函数的理论中是没有与此相应的结果的（例如考虑).另一个同样值得注意的结果是：每个解析函数是无穷次可微的，并且在它的域内的每一点有幂级数展式.为什么如此弱的假设竟有如柴刻的结论呢?如果考虑一下导数的定义，便可从中找到出现这种现象的某些征兆。
在复变数的情形，变数可以沿无穷多个方向趋于一点a.但

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