向量代数 单位向量i和j,三维空间的坐标和向量外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

向量代数 单位向量i和j,三维空间的坐标和向量

作者： George F.Simmons

国籍：美国

出处：机械工业出版社

中文译文：

质量、温度或动能等物理量完全由一个指定其大小的实数决定，这些量被称为标量，或者简单的标量。与此相反，其他称为向量或向量的实体，具有大小和方向。作为例子，我们提到了速度、力和位移。

例1：让我们简要考虑一下速度的情况。当我们讨论一个点沿着一条直线,我们可以指定位置通过坐标,这可能是积极的也有可能是消极的,和移动的速度点是这个坐标对时间的导数,即位置的变化率。方向在这样的讨论中当然很重要，但在这个简单的一维情况下，所有关于方向的问题都很容易用正负数来解决。

然而，要指定一个点在平面上沿弯曲路径移动的速度，必须同时给出这个点的速度(它与距离转换的速度)和它的运动方向。这两个分量的组合就是运动点的速度矢量，或者简单地说，就是运动点的速度。用箭头或有向线段v表示这个向量(见图17.20)是不自然的，v的尾部位于点的当前位置，v的长度是某个商定的测量系统中的速度，v的方向是运动的方向。

例2作用于物体上的力也是一个矢量，它的量是力的强度，方向是力作用的方向。例如，地球对环绕地球的人造卫星施加的引力F(图17.21)指向地球中心，其大小与1/成正比，其中r为人造卫星到地球中心的距离。

从数学的角度来看，我们不仅仅用有向线段表示一个向量;我们说向量是有向线段。这解放了我们，使我们可以独立于任何特定的物理知识来发展向量的代数。

如前所述，矢量通常用黑体字表示。对于手写的工作，一个很好的替代方法是使用带箭头的字母。因此，v和v表示相同的向量。同样，如果一个向量从点P延伸到点Q，我们可以在点Q放置一个箭头，并用用PQ表示向量(图17.22)。然后我们称P为尾点或起始点Q为向量的头点或终点。向量PQ可以理解为一个点沿着线段从P到Q的线段上的位移或一个点，也就是说，当一个点从P到q移动时所走的路径。这些向量描述了点的相对位置。矢量PQ的长度或大小由符号PQ表示，之所以使用这个符号是因为矢量的长度有很多方式.

两个向量PQ和RS是相等的，如果它们具有相同的长度和方向(图17.22)。只要向量的长度和方向不变，这个等式的定义使我们能够将向量从一个位置移动到另一个位置而不改变它。因此，图17.23所示的向量都是相等的;换句话说，它们在不同的位置上是同一个向量。点P在坐标平面上的位置坐标是原点0到点P的向量OP(图17.24)。这些向量描述了点相对于原点的位置。如图17.23所示，任何向量A都可以将其尾巴置于原点，从而成为位于其头部的点P的位置向量。

我们将讨论向量上的两个代数运算。第一个操作是将两个向量相加得到另一个向量，第二个操作是将一个向量乘以一个数，积起来得到另一个向量。在任何涉及向量的讨论中，习惯上将数字称为标量，而这第二个操作通常称为标量乘法。

首先,加法。假设向量A=PO表示的是点沿线段从P到q的位移，如图17.25所示，当位移A=PQ后面跟着A位移B=QR时，最终的结果等价于单位移PR，因此很自然地将PR看作PQ与QR之和并且写成PR=PQ QR。

这表明向量加法的定义,我们采用:如果A和B是任意两个向量,我们将它们相加，如图,把B的尾部放在A的头部;从A的尾部到B的头部的向量被写成A B，称为A和B的和。图17.26显示加法交换律和结合律，A B = B A和A (B C) = (A B) C。结合律允许我们省略括号，用A B C表示A ( B C )。

这些思想提出了另一种等价的方法来求两个向量A的和。如果我们把它们的尾巴放在一起，如图17.27所示，形成平行图A和B是相邻的边，那么A B就是从向量尾巴相反的顶点。这表明我们对加法的定义非常适用于物理中的力;因为如果A和B被解释为作用在它们共同尾巴上的两个力，那么从实验中可以知道A B是合力，也就是与两个合力产生相同效果的一个力。这叫做平行四边形规则，对于力的加法和向量的加法。

例3速度也由平行四边形规则组合而成。例如。一个划独木舟的人想要划过一条河，到达与起点正对的对岸(图17.28)。这条河以每小时3英里的速度流，他能以每小时6英里的速度划船。他应该把独木舟朝哪个方向划呢?

解：他的实际速度是水的速度和相对于水的速度的矢量和。所以为了使这个和垂直于河岸，他必须使他的独木舟以=frac12;的角度逆流而上，所以theta;=30°。

现在是标量乘法。如果我们加上一个向量A，我们得到一个方向相同但长度是它的两倍的向量，把它写成A A=2A是很自然的。通过自然展开式，如果c是任意实数，则cA定义为向量c是A的长度的c倍，与c为正时的A方向相同，与c为负时的A方向相反(图17.29)。长度为零的向量用0表示，称为零向量，这个向量没有方向。显然，1 * A = A, 0 *A = 0。

c(dA) = (cd)A，

(c d)A =cA dA，

c(A B) =cA cB，

这是有效且容易建立的，但是我们不应该停下来详细讨论它们。但是，值得注意的是，图17.30中隐式地证明了c gt; 0的最后一个性质。同样，我们同意轮胎系数c可以写在向量的任意一边，cA = Ac;我们不会经常使用这种笨拙的用法，但它有时很方便。

向量(- 1)*B写成- B;它显然是一个长度等于B但方向相反的向量。就像在初等代数,A (-B)写成A-B。A-B是一个简单的几何结构,造成事实,A-B是必须添加到B给A:当A和B是把尾巴一致,那么A-B是向量B的头到A的头(图17.31)。

由于控制向量的加法和标量乘法的定律与我们从初等代数中学到的定律是一致的，所以我们有理由使用熟悉的代数规则来求解包含向量的线性方程。下面的例子说明了这些方法在求解某些几何问题时的有效性。

例4：图17.32中，图17.32中，线段AP与线段CB之比为t，其中0lt;tlt;1。用A，B，t表示向量R。

解：向量AB是B-A，向量AP是t(B-A)，从R=A AP我们得到

R=A t（B-A) = (1-t)A tB。

特别地，如果P是AB的中点，那么t=frac12;，

R= frac12;A frac12;B=frac12; (A B)。

例5：使用向量方法来表示任意三角形的三个中值。相交于每一个顶点到对边中点的距离的三分之二处。

解：设A, B, C为三角形的顶点(图17.33)，设A,B,C为从外点O到这些顶点的向量。如果M是BC的中点。然后OM=(B C)，AM=OM-A=frac12; (B C)-A，如果P是从A到M的三分之二的点，那么我们有

OP=A ⅔AM=A ⅔（frac12;B C)-A）=⅓A ⅓(B C)=⅓(A B C)。(1)

类似地，如果N是AC的中点O是从B到N,然后我们看到

0Q=B ⅔BN=B ⅔(ON-B)

=B ⅔(frac12;A C)-B)=⅓（A B C).(2)

(1)和(2)的比较表明，这两个点P和Q重合，同样地，如果我们从C到AB的中点走三分之二的距离，我们又得到了相同的点。这就完成了证明。我们还可以通过观察(1)在三个向量A,B,C中是对称的，从而更优雅地得出结论，无论我们从哪个中点开始，我们都能得到相同的点。

长度为1的向量称为单位向量，很容易看出，如果我们用任何非零向量A除以它自身的长度，我们就得到了一个方向相同的单位向量A/|A|。这个简单的事实非常有用.

当我们处理坐标平面上的向量时，通常可以使用标准单位向量i和j;如图17.34所示，i点在正x轴方向，j点在正y轴方向。我们已经看到，在xy平面上的任何向量A都可以把它的尾巴放在原点，这样就变成了它头部P点的位置向量OP。如果P有坐标a1和a2，那么向量a1i和a2j从原点到坐标轴上的点a1和a2，所以根据平行四边形规则

A =a1i a2j。(3)

其中的数字a1称为向量a在的x上分量或i分量A。a2叫做y分量或者j分量。这些分量是标量，应该与向量分量a1i和a2j区分开来。根据勾股定理，我们显然有

|A|=.

式(3)告诉我们平面上的每个向量都是i和j的线性组合，这个公式的值是基于这样的线性组合可以用代数的一般规则来处理。因此,如

A =a1i a2j,and B=b1i b2j,

然后A B=(a1i a2j) (b1i b2j)

=(a1 <st

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料</st

英语原文共 8 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[272292]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word