利用特征向量矩阵求解特征值反问题外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

利用特征向量矩阵求解特征值反问题

作者：Dirk P. Laurie

国籍：北荷兰

出处：Journal of Computational and Applied Mathematics 35 (1991) 277-289

中文译文：

摘要：基于平面旋转可以不断迭代特征向量矩阵，提出了一种求解对称矩阵特征值反问题的数值算法。算法的一个基本工具是由特征向量的瑞利商对所涉及的每个基矩阵形成的矩阵，而基则用Frobenius内积进行了正交化。定义了解决方案的两个比较接近的标准，这两个标准中的任何一个都可以监控解决方案的进展。详细分析了该方法涉及的计算问题。给出了托普里茨矩阵和中心对称三对角矩阵的数值例子。新算法比牛顿法更为稳健。

关键词：特征值反问题，特征向量矩阵，雅可比旋转，瑞利商。

1. 符号

n阶实对称矩阵

n阶实正交矩阵

n阶实对角矩阵

， 的子空间

通过提取矩阵A的对角线形成的向量

矩阵的j列。其他矩阵类似

单位矩阵第j列

向量范数

, 规定的矩阵范数

公差

一．引言

对称矩阵的齐次特征值反问题是：给定矩阵,求矩阵和满足,这里是的一个n维子空间。关于这个问题的数值解的文献很少。本文第二部分总结了齐次和非齐次特征值反问题的应用，并分析了四种局部收敛算法。在四种算法中采用的共同方法是将方程看作n个未知量的非线性方程组，如下所示。我们可以假定子空间的基是已知的。设为给定以非递减顺序映射到的特征值上的函数。然后将特征值反问题看作是求解问题

(1)

这里

在（1）的数值解中，每一个函数的计算都涉及到求矩阵的特征值. 在[2]中分析的算法有一个是牛顿求解问题（1）的方法，该方法可以用当前近似值的特征向量矩阵表示矩阵A。牛顿法迭代是为了使。因此，问题（1）牛顿法数值解的每一步都涉及A的显式计算及其完整特征问题的求解。在[2]中分析的另外两种方法被视为对牛顿法的修改，在牛顿法中，当现有的A改变时，通过采用近似特征向量来节省计算时间，而不是重新计算它们。在[2]中被考虑的第四种方法，被保留仅仅只是出于完整性。所有四种算法都将当前的A视为正在计算的量，将当前的Q视为与当前的A相关的特征向量矩阵或其近似值。

我们的方法是在根本上不同的，因为我们将特征向量矩阵Q视为不断迭代的量，而实际矩阵A则视为当前任何可用的Q的必然的结果。我们提出了两种将特定A与给定关联起来的方法，这两种方法都是基于子空间之间的投影。一般来说，只有在计算结束时（也可能在计算开始时，因为选择了初始值），我们才能确定当前正交矩阵是否是的某个元素的特征向量矩阵。与[2]中的方法II不同，当前矩阵只是特征向量矩阵的近似值，我们会努力确保仍为正交矩阵。

实际上，我们把齐次特征值反问题看作是一般特征值问题的推广，其中要求解的方程也是，但A已知，M已知。我们可以从特征向量矩阵一开始估计的矩阵（通常是单位矩阵）开始，在每个阶段都可以通过初等相似变换来更新迭代当前的以解决特征值问题。从这个角度来看，一个特别有趣的方法是Jacobi方法[6]，它具有最小化（在每个步骤中，R是当前选定旋转平面中的旋转矩阵）的能力。因此，我们可以观察到，对于最小值为零的可计算函数，其解是单调递减的。

在特征值反问题中，为了能够以相似的方式迭代特征向量矩阵以得到近似值，我们需要一个相似的准则来度量过程。第2节提出了两种可能性。我们研究了第3节中的计算问题和启发式算法，在第4节中的算法中使用。第5节给出了数值示例。

二．进度标准

我们将检验两种将形式的矩阵映射到的方法。如果将问题推广到的任意子空间和上，那么表示起来将会变得更加简单。设为的基，，为的基，其中k和不必相等，也不必等于n。在不失去一般性的情况下，我们可以假设两个基对于Frobenius内积都是正交的。

(2)

在实际情况下，正交性已经存在，因为基矩阵通常具有非零的不相交模式：只需要缩放。我们可以用内积的标准方法，把任意矩阵投影在子空间和上。尤其是投影到特殊形式的矩阵的子空间上，其中是的元素，由给出，其中

(3)

这个方程可以写成，其中

（4）

除非有要求，我们通常会在符号中抑制G对的显式依赖, 原因很明显, 我们称矩阵G为关于基和的广义佩利商矩阵！凭借对称性，投影到特殊形式矩阵的子空间上，其中是的元素，由给出,这里。当矩阵同时满足方程时，我们必须同时满足

（5）

此时我们说是主方程的解。

我们可以得到广义瑞利商矩阵的以下性质。

定理1

定义与（4）中一样的矩阵,于是有：

1. 对任意,有,当是主方程的解时取等号。
2. 如果并且G是非奇异的，那么对任意,有,当是主方程的解时取等号。

证明：

为了证明（a）,我们记得是投影到的正交基中的系数向量。因此，

（6）

当时取等号。

为了证明（b）,我们在（a）中互换和，以得到,对任何成立，取代入即可得证。

备注2：定理1表示当并且G是非奇异的时，有

广义瑞利商矩阵也为反特征向量问题提供了一种求解方法，即在给定特征向量矩阵时，求出非零的和。其中，A，M满足。

定理3：当广义瑞利商矩阵的奇异值为1时，可以求解反特征向量问题。

证明：方程（5）是G的左右奇异向量x和y对应于奇异值1时的方程。

备注4：我们可以把定理3推广到非齐次情况，当,属于时。在这种情况下，我们用替换，如果得到的广义瑞利商矩阵的左奇异空间包含的非零分量元素，则可以解决非齐次问题。

定理1给出了两个准则，用来检验给定作为特征值反问题的特征向量矩阵的情况：

最小化;

最小化

这两个标准都给出了一个无量纲的非负量，如果能找到一个解，那么可得这个量为零。

我们得到了系数向量和，通过考虑它们在空间和之上的投影。其中是在上投影的系数向量，是系数向量，因此相应的在上的投影为y。也可以考虑在空间和之上的投影。现在，是M投影到上的系数向量，而是系数向量，因此它对应。在上的投影是y，如上所述,是牛顿法。见[5]。

3.更新瑞利商矩阵

现在，我们将注意力转向本文的主题，这是一个特殊的案例。此时是对角矩阵的子空间，并且.的基是 广义瑞利商矩阵的项简化为

（7）

它是向量相对于矩阵的瑞利商。在这种情况下，我们称G为的瑞利商矩阵. 当用公式（7）计算时，每个的非零元素都需要相乘两次。当计算所有的时，需要对中的所有非零元素进行两次相乘：通常这些非零元素在n到之间。因此，对矩阵G的计算可以从到进行操作。

当用（j,k）平面上的旋转矩阵改变矩阵时（即）,只有G的j和k列会受到影响。设：

则 （8）

可以得到

（9）

这里

（10）

其中h为

（11）

采用相同的方法对h与G的列进行计算，并且在实际中，从更新后的中直接计算也同样可以，因为保持不变。

我们自然对G迭代后的情况感兴趣。因为遵循。注意，正如我们所预期的，当时，保持不变。令,我们有

（12）

对其进行区分辨别，可以知道这是一个必要条件。

是的最大值。解这个方程的相当于求一个4次多项式的零点，原则上可以精确地求出，但实际上只是数值上的。因为对G的改变实质上是秩的改变，所以可以使用谢尔曼-莫里森公式[3]来获得如下形式的公式。

（13）

由于的改变，我们可以从中可以得到类似的表达式，并得到一个改进到最优的类似的方程。因此，一旦旋转平面固定，我们就可以找到最佳的旋转角度。我们可以像用Jacobi方法处理特征值问题那样进行，在这里对所有可能的旋转平面都以固定的顺序进行检查，否则可能会忽略那些通

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