勾股定理的推广

原文作者： Christina Lau

摘要：这份报告表达了最近围绕毕达哥拉斯的一些研究定理和毕达哥拉斯三元组。 讨论的主题包括应用程序的勾股定理涉及递归方法，锐角和钝角三角形，方格中的毕达哥拉斯三角形，以及毕达哥拉斯方格。 一个简短的讨论还包括了在中学教授的勾股定理的深度。

关键词：毕达哥拉斯定理； 三角形； 递归

表的内容

数据列表

第1章:介绍...................................................................................... 1

第二章:毕达哥拉斯三重递归.............................................................. 4

第三章:三角形和议员........................................................................... 7

第四章:广场和毕达哥拉斯三角形..................................................... 11

第五章:毕达哥拉斯盒子............................................................................... 16

第六章:结论........................................................................................ 20

参考书目.......................................................................................................... 22

维塔....................................................................................................................... 23

数据列表

图1:勾股定理.................................................................. 2

图2:一个正方形切割成四个直角三角形...................................... 11

图3:一个正方形切割成五个直角三角形....................................... 12

图4:五毕达哥拉斯三角形................................................................ 13

图5:可能安排四个直角三角形.................................. 14

第1章:介绍

尽管勾股定理是以数学家毕达哥拉斯的名字命名的。在公元前500年左右，它被巴比伦人发现，中国和埃及的文明可以追溯到公元前1800年到公元前1500年。然而，这可能是第一个正式表述已经找到的公式。由其他独立。埃及农民，根据一个众所周知的故事，用一根均匀间隔的绳结，找出一个直角三角形的长度为3，4、5，被称为“埃及三角”[5,p. 261]。记录,毕达哥拉斯意识到这一特性，等待着暴君的波克拉底的到来。萨摩斯的宫殿。毕达哥拉斯在盯着他看的时候，证实了他的想法。宫殿地板上的正方形瓷砖[5,第260页]。毕达哥拉斯定理是在小学里学习和加强的。然而，大多数学生只接触到概念的表面:总和。直角三角形的直角边的平方等于斜边的平方。被称为 ，在a,b,c属于实数时。图1用图像的面积描述了图像形式的定理，直角三角形的每边。

图1

图1所示。勾股定理[5,第260页]。

勾股定理的一个特例被称为勾股定理。它被定义为满足勾股定理的三个正整数。学生们被鼓励去记住最初的一些原始的，或者相对来说是质数的三元组。例如(3,4,5)和(5,12,13)在练习和应用这个定理时。这些三元组可以由产生新的非原始三元组的常数相乘。尽管毕达哥拉斯定理在很久以前就被证明了，但是新的应用。仍在特别关注勾股定理的使用。它有一段时间以来，人们都知道有无穷多的原始三元组。最近创建的递归方法比巴比伦人更有效地识别所有的勾股定理。另一个新发展的重点是，Heronian。三角形可以通过勾股定理的参数化来识别。这个问题关于有多少勾股定理，一个正方形可以被分割成。回答。将概念引入三维，勾股定理。四元组也有他们自己的参数化。毕达哥拉斯三元的延伸是。显然是巨大的，也许仍然是未知的。下面是其中的一些。对公认的发现进行了阐述和研究。

第2章:勾股定理的三重递归

前几个原始的毕达哥拉斯三元组很容易记忆和使用。在必要的时候。然而，一个人如何发现所有其他三元组的问题就出现了。Wade父子团队制作了一个递归方法，它可以产生所有的勾股定理。三元组(第98页)。而巴比伦人所发现的公式如下。它至少有四千年的历史，它是由斐波那契证明的。原始的三元组和一些未减少的三元组: (1)

其中m,n属于整数。另一方面，Wades找到了一种能够做到这一点的公式。生产所有原始和所有未减少的三元组。首先,假定。定义两个三元组之间的距离(a,b,c)和(d,e,f)，和高度的三倍(a,b,c)。为任何一个。在H=1的具体案例,

......(1)

或更一般的,;因此,。

代入式(1): ...... (2)

和 ......(3)

它产生了所有原始的三元组。变换式(2)和(3)成一个递归需要事实的应用D=2和 ,给予一个递归，产生所有减少和未减少的毕达哥拉斯三元组一个高度：

当 时，给予一个递归，产生所有减少和未减少的毕达哥拉斯三元组高度之一： 在观察这个第一个案例之后，以下定理可以说明:

定理1. 让是毕达哥拉斯的三倍高，D是一个正整数。并且, 如果和是整数，那么递归

生成毕达哥拉斯高度的三元组（对于K= 0,1,2...）,每个连续对和之间的距离恰恰是D。[6, 第99页]

定理1可以通过数学归纳证明ķ。 但是，证明只适用于身高 H是一个完美的正方形或双倍

平方，一个完美的平方乘以二的解决方案。这导致了下一个必要的定理。

定理2. 假设H既不是完美的正方形，也不是双正方形，那H除1以外没有除数。如果并且D= 2H，然后根据定理1中的递归生成所有毕达哥拉斯三倍高度H。[6, 第99页]

定理2的证明首先表明每个高度的三倍H是a的倍数，并且是更低的三倍的高度，因为没有可以由（1）产生三倍的高度H满足定理2的假设。因此，当P属于整数时，（a，b，c）= p（A，B，C）。无论何时，为1，因为它是一个完美的正方形，注意到高度是，并且必须划分H.（A，B，C）必须是一个三倍的倍数，比低的高度。从而得出结论，当D= 2H，的时候，（a，b，c）必须是三倍乘以高度1，并且定理1中的递归生成高度的所有三元组。〔6，第100页〕

第3章：三角形和A=MP

马尔可夫发现了一种算法，用于寻找所有的区域A周长是整数倍米的Helon三角形。区域A是整数倍〔3，第115页〕。赫罗尼阶描述具有整数边和整数区域的三角形。整个二十世纪，介绍了这一问题的变化，并提出了一些解决办法。例如，它是Whitworth和比德尔在1904中显示，只有五个三角形满足财产A= P. SubBaAO对于建立了整数边三角形，不存在。Goehl是第一个提出A=mP这个问题的人。并且随后仅在1985中解决了右三角形的特例问题。马尔可夫采取了Goehl的解决方案，并将程序扩展到其他急性和急性心肌梗死的病例。钝角三角形〔3，第115页〕。

这个扩展过程是从参数化开始的。原始的毕达哥拉斯三部曲由BeulgGARD和Suryayalaya[3，114页]证明。当u和v是相对质数和奇数的整数时，这个参数化表示为

回想一下Heron的公式

以 的状态,注意（5）式可以使用以下方式编写和重写代数运算与因子分解：

以及

以及

等式（6）似乎与毕达哥拉斯定理的形式相似。 因此，结合（4）和（6），问题可以通过说一个三角形来简化，如果其组件均匀，则为Heronian; 如果两个组件是偶数，那么第三个也必须是。 注意等式（6）似乎与毕达哥拉斯定理的形式相似。 因此，结合（4）和（6），通过说一个三角形只会简化问题。如果其组件均匀，则为Heronian; 如果两个组件是偶数，那么第三个

也必须是。 注意4A和2ab，甚至是制造。即使如此，运用这个含义和原始的三重参数化（4），可以说任何非原始的毕达哥拉斯三重将是一个原始三重和偶数的倍数。 从而产生以下参数化：

对于n为整数时，

对于k为整数时，

为了解决这个问题，必须考虑（8）中所有形式的三元组。（7）和（8）中的表达式必须分别相等，最后以m表示用六个未知数的三个方程组是一个固定值：

为了解决这个系统，马尔可夫证明了对于任何除数d的数量 ，对于这个愚蠢的案例，有相应的值ķ：，同样的，对于急性病例，任何除数d的数量存在相应的ķ：。唯一的区别是U和V互换〔3，第115－119页〕。解决系统需要代数操作的几个步骤得出了钝角三角形的边的下列公式：

急性病例的公式与例外情况相同。U和V是自然互换。生成非整数解是可能的，这必须是

排除这个问题的目的。马尔可夫总结了他的发现在下面的定理3中使用最大整数函数的算法：

定理3. 下面的算法解决了这个问题 A=mP

1. 对于固定的m，找到所有因数中有2m的u。
2. 对于每一个u，指示最大整数函数，找到所有v,满足相对素数的u。
3. 要找到钝角三角形解决方案：选择v lt;u，为每一个u,v找到所有的因数，从，然后为每一个u,v, d，从（9）开始确定a,b,c。
4. 要找到锐角三角形解决方案：选择，为每一个u,v找到所有的因数，从而，然后为每一个u,v, d，从（9）开始确定a,b,c。
5. 要找到直角三角形解决方案：选择u=v=1,为每一个u,v找到所有的因数,从而，然后为每一个 d，从（9）开始确定从方程中简化的a,b,c。

1. 舍弃非整数解〔3，第119-120页〕。

第6章：结论

毕达哥拉斯定理及其三元组的延伸不断证明成为数学家的开放前沿。韦德递归是一个伟大的成就。因为它能够找到所有原始三元组，这是无法完成的以前用巴比伦递归方法。距离的使用和三元组的高度使递归被发现。马尔科夫雇用了毕达哥拉斯三元组的参数化并将其应用于尖角和钝角三角形找到面积为周长整数倍的Heronian三角形。运用毕达哥拉斯定理以及锐角和钝角三角形显示了权威定理在几何中。毕达哥拉斯极有可能没有考虑广场可能如何被解剖成具有整数边的直角三角形，现在以着名的三角形命名数学家，但它似乎是他研究方形瓷砖的扩展概念宫殿殿堂很久以前。有人可能会认为杰普森和杨是知识分子毕达哥拉斯自己的后代。定理的三维版本涉及毕达哥拉斯盒子是真正的原始延伸。相似之处和由Beauregard和Suryanarayan确定的两个相关主题之间的差异提供关于数学概念所保持的联系的观点。目前围绕毕达哥拉斯定理的发现展示了还有多少内容今天不知道，正在等待被调查和研究。在中学，教师们往往没有时间深入研究一个主题正如人们所愿。大多数中学生轻松地探索毕达哥拉斯三元组几何，但不会延伸过去简单记住头几个原始三元组21以及如何找到未减少的三元组。全国数学教师委员会强调所有九年级至十二年级的学生应该“确定学校的有效性”使用演绎的几何猜测，证明定理和批判论据其他人“[4]。学生可能无法证明所讨论的定理，但可能会出现有自己的猜想并给予足够的时间捍卫它。学生也可以给出一个毕达哥拉斯三元组的名单，并要求探索发现之间的关系他们。计算距离D和身高H可以添加到发现过程中，进一步推动他们看到可以确定的各种相关性。在毕达哥拉斯定理是无可否认的几何和数学整体上的强大真理。

外文文献出处：Christina Lau. 2011. Retrieved Augest , 2011. https://repositories.lib.utexas.edu/bitstream/handle/2152/ETD-UT-2011-08-3839/LAU-MASTERS-REPORT.pdf?sequence=1amp;isAllowed=y

附外文文献原文

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Christina Lau 2011

The Repo

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Christina Lau 2011

The Report Committee for Christina Lau

Certifies that this is the approved version of the following report:

Pythagorean Theorem Extensions

APPROVED BY SUPERVISING COMMITTEE:

Supervisor:

Efraim Armendariz

Mark Daniels

Pythagorean Theorem Extensions

by Christina Lau, BA

Report

Presented to the Faculty of the Graduate School of The University of Texas at Austin

in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master of Arts

The University of Texas at Austin August 2011

Abstract

Pythagorean Theorem Extensions

Christina Lau, MA

The University of Texas at Austin, 2011

Supervisor: Efraim Armendariz

This report expresses some of the recent research surrounding the Pythagorean Theorem and Pythagorean triples. Topics discussed include applications of the Pythagorean Theorem relating to recursion methods, acute and obtuse triangles, Pythagorean triangles in squares, as well as Pythagorean boxes. A short discussion on the depth of the Pythagorean Theorem taught in secondary schools is also included.

Table of Contents

List of Figures vi

Chapter 1: An Introduction 1

Chapter 2: Pythagorean Triple Recursions 4

Chapter 3: Triangles and A mP 7

Chapter 4: Squares and Pythagorean Triangles 11

Chapter 5: Pythagorean Boxes 16

Chapter 6: A Conclusion 20

Bibliography 22

Vita 23

List of Figures

Figure 1: The Pythagorean Theorem 2

Figure 2: A square dissected into four right triangles 11

Figure 3: A square dissected into five right triangles 12

Figure 4: Five Pythagorean triangles 13

Figure 5: Possible arrangements for four right triangles 14

Chapter 1: An Introduction

Although the Pythagorean Theorem is named after the mathematician Pythagoras who lived around the 500 B.C. period, it was discovered much earlier by the Babylonian, Chinese, and Egyptian civilizations dating as far back as 1800-1500 B.C. Pythagoras, however, was likely the first to formally state the formula that had been found independently by several others. Egyptian peasants, according to a well known story, used a rope with evenly spaced knots to find that a right triangle could have lengths of 3, 4, and 5, known to some as the “Egyptian triangle” [5, p. 261]. It is documented that Pythagoras realized the property while waiting to be received by the tyrant Polycrates in the palace of Samos. Pythagoras confirmed the property in his mind while staring at the square tiles on the palace floor [5, p. 260].

The Pythagorean Theorem is learned in and reinforced throughout grade school. However, most students are only exposed to the surface of the concept: the sum of the squares of the legs of a right triangle is equal to the square of the hypotenuse, otherwise known as

where

a2 b2 c2

a,b, c ℝ . Figure 1 depicts the theorem in picture form, using the area of the

square attached to each side of the right triangle.

a2

a

b

b2

c2

c

Figure 1. The Pythagorean Theorem [5, p. 260].

A special case of the Pythagorean Theorem is referred to as Pythagorean triples which are defined as three positive integers that satisfy the Pythagorean Theorem. Students are encouraged to memorize the first few primitive, or relatively prime, triples such as (3, 4, 5) and (5, 12, 13) when practicing and applying the theorem. These triples can be multiplied by constants which produce new non-primitive triples.

Although the Pythagorean Theorem was first proven long ago, new applications are still being made specifically focusing around the use of Pythagorean triples. It has been known for some time that there are infinitely many primitive triples. A recently

created recursion method identifies all Pythagorean triples in a more efficient way than

that of the Babylonians. Another new development focuses on the fact that Heronian triangles can be identified using a parametrization of Pythagorean triples. The question concerning how many Pythagorean triangles a square is able to be dissected into was answered as well. Taking the concept into three dimensions, Pythagorean boxes and quadruples also have their own parametrization. The extension of Pythagorean triples is obviously vast and perhaps still mostly unknown. In the following, some of these recognized findings are expounded upon and investigated.

Chapter 2: Pythagorean Triple Recursions

The first few primitive Pythagorean triples are rather easy to memorize and use when necessary. However, the question of how one might find all the other triples arises. The Wade father-son team produced a recursion method that produces all Pythagorean triples [6, p. 98]. While the following formula discovered by the Babylonians has been known for at least four thousand years and was proven by Fibonacci, it produces all of the primitive triples as well as some unreduced triples:

a m2 n

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