本科毕业设计（论文）
外文翻译
单变量微积分：数学分析
作者：Elimhan Mahmudov
国籍：土耳其
出处：Elimhan Mahmudov.单变量微积分：数学分析［M］.巴黎：亚特兰蒂斯出版社，2013：335-345.
首先，我们给出长度、面积和体积的定义：这些几何概念是利用我们所学的定积分概念给出的分析的定义。我们可以计算弧长、表面积和一些特殊情况下的体积，例如一维曲线在空间中旋转产生的几何图形的体积。还可以计算平面区域和曲线的质心，以及曲线和立方体的力矩。证明了定积分可以应用于机械能守恒定律、爱因斯坦相对论以及计算物体飞离地球的逃逸速度。在本章的最后，我们考虑与原子能、临界质量和原子反应堆相关的例子。
10.1弧长
1.笛卡尔坐标系中的弧长。设是定义在闭区间上的连续函数的图像，设是闭区间的任意分割。
.
我们用表示对应于弧中的第个细分点，并且在弧中刻画出一个多边形弧线，也就是，按顺序连接线段，。如果我们通过来表示对应于分割的多边形弧的长度，则我们可以得到：
.
定义10.1. 如果对应于闭区间上的所有可能分割，在弧中“刻画”的多边形弧线的长度所对应的正实数的集合是有界的，那么我们说弧的长度存在，且。
注10.1. 没有长度的曲线是存在的。[1]
注10.2. 设是由参数方程，，给出的平面曲线。那么在的长度公式中，对应于闭区间的分割，根号下的项可以取为。应当注意，在这种情况下，参数的不同取值被分配给相同点的次数应该是有限的。[2]
图10.1 曲线上刻画出的的多边形弧线是长度为的线段的并集。
现在，通过，我们表示具有端点和的线段的长度。接着，显然
. （10.1）
如果的导数在闭区间上是连续的，则（10.1）中的极限存在，因此弧具有长度。设和。然后
.
由定理5.4，，以及。因此，，以及多边形弧线的长度为
. （10.2）
由假设，函数是连续的。因此，（10.2）中和函数的极限存在，
.
或者，简言之，
. （10.3）
注10.3. 如果弧有参数方程和， 确定，则可得。因此，在（10.3）中做变量替换，令，我们得到
. （10.4）
注10.4. 如果在（10.3）中，我们用自变量替代积分的上界，则可得积分上限函数
.
因此
.
2.极坐标中的弧长。假设弧线方程由极坐标方程给出，其中径向坐标为，角坐标为。由于连接笛卡尔坐标系和极坐标系之间的基本关系式是，，因此其参数方程也可以写成
，.
不难看出，。因此，使用（10.4），从到的弧的长度是
. （10.5）
例10.1.计算圆的长度。因为,可以推出。
因此圆的长度
.
例10.2. 求心形线（图10.2）的长度。心形线是关于直线对称的。因此，我们可以假设。
图10.2 例题10.2中的心形曲线。
易得
.
因此，
.
例10.3. 求星形线：，的长度。（在笛卡尔坐标系中星形线方程为。）
因为曲线同时关于x轴和y轴对称，所以我们只需假设来计算星形线的四分之一长度。
显然，
，.
因此，
从而，
.
例10.4. 求出位于两点，间的对数螺旋线的长度。
通过公式10.5，我们可以得到，
.
10.2面积与定积分
1. 笛卡儿坐标系下的面积。由于任何多边形图形都可以划分成互不重叠的三角形，因此利用三角形的面积公式，我们可以求出任意多边形的面积。这种计算多边形面积的方法可以追溯到几千年前埃及和苏美尔的古代文明。
设表示平面中的有界多边形区域。用表示的面积。回想一下，多边形的面积是具有以下特征的非负数：
（1）（可加性）对任意多边形和，使得Oslash;
.
（2）（不变性）如果多边形和相等（也就是说，存在一一对应关系，使得，），然后可得，
.
（3）（单调性）如果，那么可得。
为了研究在平面上由曲线围成的有界区域的面积，我们可以在平面上采用内切的方式也可以在平面上采用外切的方式，得到所有可能的多边形图形和，也就是满足。显然，数集有下界（例如，以零为界）。由此我们可以得出最小上界
.
同样，也存在最大下界
.
根据单调性（3），我们可以得到
.
定义10.2. 如果数值，相等，即，则我们前面提到的集合的面积可以由给出。
设为闭区间上的一个连续的正函数，并且假设我们要计算由图像所包围的从到的面积。
根据定理9.5，函数在闭区间上是黎曼可积的，因此对于任何一个，都存在闭区间上的一个划分，满足，其中和分别是上下黎曼和。
现在假设，是图像的内接矩形多边形，是图像的外接矩形多边形，也就是满足。因为和,所以可以得到和。因此图像的面积存在并且可以表示为黎曼积分（见章节9.2和9.3）。因此，显然，当定义时，我们可以得到
. （10.6）
如果在闭区间上，满足，那么此时积分（10.6）是一个非正数。因为面积是一个非负数，所以我们定义
.
设函数，关于在闭区间上连续，且当在在闭区间上时，满足。接着，由曲线和和垂直线，界定的区域的面积为
. (10.7)
更一般地，我们考虑一个连续函数，它的图像横穿轴并且在和之间存在有限多个点，。然后我们可以表示为
.
因此，我们看到等于轴上方曲线和下方包围的面积减去轴下方曲线和上方包围的面积。
最后，设函数，是连续的，且满足当属于时，。然后，由曲线和和垂直线，界定的区域的面积为
.
假设有曲线的参数方程：
，，， （10.8）
为了计算图像从到的面积，假设方程式（10.8）定义了一个在闭区间上的函数。然后，利用公式（10.6）中的替换，则和，我们得到
. （10.9）
例 10.5. 求曲线和，所围成的区域的面积。这些曲线的交点是和。因为对于所有中的满足，由（10.7）得出：
例 10.6. 求曲线，，以及轴所围成的区域的面积。我们有，
即可得，。
例 10.7. 求以轴和摆线，，为界线围成的区域的面积。
通过（10.9），
即可得，。
2.极坐标系下的面积。假设区域由两条径向射线和以及曲线，所围成。为了近似求出区域的面积，我们对区间利用进行分割，设其分点为
.
图10.3 极坐标系中黎曼和的面积公式。
设是按照进行分割后每一个部分区间里选择的点，并且。不难看出以射线，，和曲线为界限围成的区域面积近似等于以为半径且以相同角度为界限的扇形的面积（图10.3）。
我们对于个分块中都添加这样的扇形区域，从而可以得到
.
式子的右边的求和是黎曼积分和。从而可得，以射线，，和曲线为界限围成的区域的面积是上述求和的极限，当间隔值时：
.
或者
. （10.10）
现在考虑当时，两条曲线和。然后这两条曲线和射线，，所包围的区域的面积可以通过外曲线界定的区域面积减去内曲线界定的区域面积。也就是说，两条曲线围成的区域面积可以通过下式计算：
.
例10.8.（1）求出以三叶玫瑰为界限的区域的面积。我们可以从图10.4中看出，当时，我们可以先计算出所需要求出的面积的六分之一。因此，利用（10.10），我们可以得到
，
也就是，
。
图10.4 三叶玫瑰的面积。
（2）求出以双扭曲线为界限的区域的面积。容易看出，如果以表示双扭曲线围成的区域面积，则当时，
，
并且，
因此
。
10.3体积与定积分
在本节中，我们将介绍如何使用积分来计算三维空间中某些实体的体积。我们从体积的性质开始讲解，（1）—（3）（可加性、不变性和单调性），类似于第10.2节所列的区域面积的性质。定义表示含有的有界多面立方体，用表示类似的被包含的立方体。取和，可得。如果，则我们说具有体积，并且是的体积。
如果含有的多面立方体的体积可以任意地小，那么我们就说的体积是零。可以证明，边界的体积等于零是的体积的存在的必要和充分条件。换句话说，对任意给定的，存在有界多面体，，使得。
1.旋转体。设闭区间上的连续正值函数。表示由曲线，轴和垂线，界定的区域的面积。我们来计算区域围绕轴旋转所得的立方体的体积。给定一个，我们通过选择点将闭区间细分为个子区间，使得
设和是连续函数在闭区间上的最大绝对值和最小绝对值。对于每个，考虑闭区间上具有高度的矩形，其面积为。这些包含在区域R上的个矩形的并集：它是与的分割相关联的外切矩形多边形。类似地，考虑位于区域R内底为，高为的矩形。这些矩形的并集：它是与的分割相关联的内切矩形多边形（见图9.2）。我们分别用和表示通过绕轴旋转这些外切和内切矩形多边形而获得的立方体。显然地，并且这两个和
，
分别是的黎曼积分值的最大值和最小值。既然黎曼可积，那么给定任意小的一个正数，通过取定合适的间隔值，可以使得上述两个和的差值小于。因此立方体具有体积。因此，当间隔值趋于零时，通过求极限，我们得到
. （10.11）
假设，并且立方体由曲线，和垂直线，界定的区域通过围绕轴生成。那么，立方体的体积是
.
同样，如果立方体由曲线，和垂直线，界定的区域通过围绕轴生成。则
.
附：外文原文
First we define the concepts of length, area, and volume: these geometric concepts are given analytic definitions using the concept of the definite integral which we have developed. We compute the arc length, the surface area, and the volume for some special cases, such as geometric figures produced by revolving one-dimensional curves in space. Then, the centroids of plane regions and curves, and the moments of curves and of solids are calculated. It is shown that the definite integral can be applied to the law of conservation of mechanical energy, to Einsteinrsquo;s theory of relativity, and to calculate the escape velocity from the earth. At the end of the chapter, we consider examples connected with atomic energy, critical mass and atomic reactors.
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