小数除法和除数为社么不能为0外文翻译资料

小数除法和除数为社么不能为0

原文作者 Christian purltz 单位The Royal Grammar School

摘要：通过教学生分数除法的一般规律能使那些记得住规则的人得到正确的答案，但是这样却是没有给出直观的认识，因为这里在除以一个分数（真分数）之后结果势必比被除数大的。正是因为这种直观的认识，我关注到也许应该对除以0进行一下讨论，探索挖掘一下。

关键词： 除法； 平均分配； 打包问题；无穷大

如果你问你的朋友：等于多少？虽然这个朋友很聪明，但是却是没有什么数学头脑的人，那么你得到的答案将可能会是15或者干脆就空着了。如果你得到的答案是15，那么你再接着问的答案，理所当然你的朋友会告诉你等于15，但是在心中会隐隐有不安的意识，这两个问题的答案应该不会是真的相同的。

为什么要将这样一个问题向一个聪明并且有一定计算能力的人提出呢？同时我也将这个问题向大家提出来？这是因为我们可以将除法顺理成章地认为是一个共享的过程。将30便士分给两个孩子：他们每个人都得到15便士。但是若是将30便士分给二分之一个孩子呢？当面对如此荒谬的提问，平均分配的思路看起来已经无法挽救了，被彻底打破了。

虽然通过教学生分数除法的一般规律能使那些记得住规则的人得到正确的答案，但是这样却是没有给出直观的认识，因为这里在除以一个分数之后结果势必被除数大的。正是因为这种直观的认识，我关注到也许应该对除以0进行一下讨论，探索挖掘。

令人感到奇怪的是，平均分配在实际的带分数问题出现问题的概率明显减少了。我们假设，如果pound;68000要平均分给个队伍。那么每个队伍能得到多少钱呢？读者可能会认为一个营通常有3个连，但在这种情况下，一个营只有2个连。因此我们把钱分给了5times;3 2个连，然后给每个连pound;4000，因此给每个营3times;pound;4000 =pound;12000。比较有效率的方法是这样解答68000divide;17 / 3 =（68000divide;17）times;3，这与68000times;3 / 17是相同的，说明的是一般规则是倒置和乘法。然而，上面的那种凭借直观的认识并不是一个好的方法当我们面对的除数是真分数的时候，例如的这种情况下。

不仅仅在平均分配的问题中我们看到除法变得难以解决，困难重重，同样在打包包裹这一事项上也出现了困难。例如：一个救援机构库有水稻30千克，并将它打包成每2千克一个包裹，请问有多少包裹吗？显然答案是15，具体计算过程为。现在，我们假设30公斤被制成每个为千克。那个不会做的朋友，在这种情况下，却能够知道有60个包裹，我们可以抱有希望地看到这是由于除法计算的原因。显而易见，使得包裹的尺寸变小从而导致了更大的包裹数量源自于一个给定的数。

看来打包问题通过划分也就自然而然解决了，但是这样的话除法运算就被错误地认为是平均分配，而不是一个打包的过程了。

通过两个过程对等的过程可以看出，可以通过实践来思考怎样分配。假如我想将一袋里20颗弹珠分给四个男孩。放弃做算术计算，计算出每个男孩的得到多少颗弹珠。而我会给每个男孩第一颗弹珠，然后再给每个男孩第二课弹珠，以此类推直到给每个男孩第五颗弹珠后，这时袋子也空了。这就是怎么分卡片的问题了。20颗弹珠被分成4分，每个男孩有5颗。但实际处理过程更像是打包，四颗第一颗的弹珠组成了第一个包裹，四颗第二颗的弹珠组成了第二个包裹hellip;hellip;。包裹的数目，5，也就是每个男孩的分配得到的弹珠颗数。

如果只有14颗弹珠我会在尝试给孩子第四颗弹珠的时候发现用完了，所以我不给第四颗弹珠，这样每个男孩会有3颗，也就剩下了两颗。通过上述实践得出了14divide;4就等于3并且余项为2。如果我用太妃糖代替大理石，那么每个人就分的颗太妃糖。

两种解释都与乘法的原始定义相关。我们认为5times;4，表示4 4 4 4 4，而4times;5，表示5 5 5 5。从这两个答案来看应该是相同的定义并不明显的，这两个因素的作用是不同的。然而，考虑四个男孩每人有第一，第二，第三，第四，第五颗弹珠。而包裹的数目和包裹的标号也会随之改变。

把除法当作乘法逆运算。我们知道，20divide;5 = 4，因为5 times;4 = 20，使方程的5x=20,得到x=4同样发现等价于求解。这可以被看作是什么的一半是30或者多少次的一半是30答案都是60。

除以0

如果你问你的朋友，30divide;0你可以得到30（毕竟你什么都没有除）或者是0（0divide;30才是正确）即使是那些知道答案的，或许从一个计算器中获得的经验，除以0不可能的。但是这是本能的倾向，使头脑空白当面对一个除数为0的情况。

然而打包问题又让0有了意义。假设我们的30公斤的大米被打包成数额较小，我们知道每天2公斤要花15天时间把所有的大米吃完；每天吃公斤要花60天；每天用0.01公斤供应则持续3000天。如果没有人愿意吃大米，0公斤，是每日使用量。经过几天后的水稻吃完了？显然，这是永远吃完的。

“永远”的回答表明30divide;0 =无穷大这通常是作为一个速记的声明，30divide;X趋于无穷大时（即增加超越一切界限）。同样，是不能被定义，但是，如果K是一个数字，K divide;x，当x趋于0，K趋于无穷大。

0divide;0怎么样？这是为那些开始分化研究的一个重要问题，在那里不可能0除以0的结果在一个限制的相当复杂的思想的需要，当试图计算在一个给定的点的曲线图的梯度。回到我们的商店的大米，假如我们一开始就没有米。经过几天的供应下降到0？答案是，任何经过的天数。0公斤可制成n个 0公斤的包裹，无论n为0，1，2，79或什么的.

实际的例子

现实生活中的情况下，有助于使整个问题更加方便。

例1 发现在pound;/升的单位价格：

（a）5升牛奶成本为pound;2.40。

（b）BubbleJet 打印机墨水的成本pound;19/ 20ml。

（c）0升的香槟酒的成本为pound;2。

（d）0公升的汽油成本为pound;0。

解决方案：

（a）pound;2.40divide;5 =pound;0.48/litre。

（b）pound;19divide;0.02 =pound;950 /升；贵啊！积少成多！

（c）不可能！无论多么昂贵的香槟。

（d）不知道：0升的成本的单位价格不知道。

例2找到下面的速度：

（a）汽车3小时开了120英里。

（b）无线电信号，0.00002秒传播6公里。

（c）一艘宇宙飞船，0秒飞了200米。

（d）一只乌龟，爬行0厘米，0秒。

解决方案：

（a）120divide;3 = 40英里。

（b）6divide;0.00002 = 300 000公里/秒。

（c）不可能！

（d）不知道，猜测，它可能已完全不能动。

反函数

我们也可以看看在下文反函数中的除以0。函数f（x）= KX，有反函数= X / K = 1 / Ktimes;x当k是非零的时候。这当然取决于F是一个一一映射的函数，即当a和b是不等时，F（a）和F（b）；不同的输入数据映射到不同的输出，使不同输入的区别是保存下来，让我们的工作从输出到输入。

这一切的变化，当我们考虑f和 k = 0。每个输入X现在导致yen; x = 0的输出。“输入产生30的输出一个问题吗？”（相当于要求30 divide;0）收到的回答“没有输入“。其中输入产生一个0的输出问题“？”（即0 0？）得到的答案“每个输入做”。

类似的，如果要更复杂一些，在数学中的其他环境中出现的情况。一个是算术模M，对于给定的整数m。如果（如12小时时钟）我们用乘法模12，5的倍数是0，5，3（其余15除以12），8，1，6，11，4和7，2。他们都是不同的，和方程5X = n可以为每一个价值的n解决；函数f（x）= 5x具有逆函数。相比之下，6的倍数是0，6，0，6，0，6，6，0，6，0和6。例如方程6x＝4，是无解的，但6x＝6的解决方案1，3，5，7，9，11。6倍的功能不能倒在算术模12。

一个线性变换可以用矩阵表示的变换矩阵M；乘以含有一点P的坐标的矩阵M的撤消变换中的向量的影响，如果这是可能的，我们发现M矩阵的逆，它代表了原始逆变换。这里矩阵M是奇异的，即它没有逆矩阵

外文文献出处：

Author(s): Christian Puritz

Source: Mathematics in School, Vol. 34, No. 5 (Nov., 2005), pp. 2-4

Published by: The Mathematical Association

Stable URL: http://www.jstor.org/stable/30215826

附外文文献原文

Dividing by small numbers and why not by 0

By christian purltz

If you ask a friend who is intelligent but not mathematically-minded to divide by , you will probably get either or a blank look. If the response is and you then ask for

, you will of course get 15, together with an uneasy awareness that the two questions should not really be receiving the same answer.

Why is ,when presented abstractly, such a problem to an intelligent and reasonably numerate person, and hence to many of our pupils? It is because division is naturally thought of as a sharing process. Divide 30p between two children: they get 15p each. But divide 30p among half a child? The notion of sharing seems to break down irretrievably when faced with such nonsense。

Teaching the usual rule for division by a fraction enables those who remember the rule to get the correct answer, but it does not give the intuitive awareness that division by a fraction should give a result bigger than the dividend (the number being divided, here ). It is this intuitive awareness, which then prepares the way for discussing division by , that I am concerned to develop through this note.

Curiously, sharing among a mixed number of entities seems less problematic. Suppose, for example, that pound;68000 is to be shared equally among battalions. How much does each battalion get? The reader would presume that a battalion normally consists of 3 companies, but that in this case one of the battalions only has 2; so we divide the money among companies, giving pound;4000 per company and hence 3 times;pound;4000=pound;12000 per complete battalion.

Effectively we have done 68 000 divide; 17/3 = (68 000divide;17) times;3,which incidentally is the same as 68 000 x 3/17, illustrating the usual rule invert and multiply. However, intuition does not easily allow the same sharing approach when faced with division by a proper fraction such as .

The difficulty dissolves when division is viewed not as sharing but as parcelling. For example: A relief agency de

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