初等几何问题研究外文翻译资料

初等几何问题研究

原文作者：O. Bottema

1勾股定理

1.1

毕达哥拉斯定理（勾股定理）是最重要的、最古老的几何定理之一，可以说众所周知，受众面积极广。勾股定理家喻户晓的原因恐怕要归于它的简单性，但并不意味着它的证明是显而易见的。毕达哥拉斯定理说明，直角三角形中的两条直角边的长度a和b与斜边长度c满足关系式。用几何知识解释这个定理，这定理就变成：以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个分别以这个直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积之和。传说中，这条定理是以大约公元前500年居住于萨摩斯岛的罗马哲学家毕达哥拉斯的名字命名的。尽管他可能并不能明确知道这个定理，即便知道，他和他的追随者可能也没有证明这个定理，这些都不能肯定。无论如何，似乎在几个世纪之前，巴比伦人就已经十分熟悉这个定理。古往今来，不断涌现出许多不同的证明方法和许多不同类型的证据来证明这个定理，我们将在这里举其中的四种方法。

1.2

注意到以下三个方面：(1)在两个相似图形中对应线段成比例；(2)一个图形的面积可以看作是多个三角形的面积之和，而对于曲面图则应该看成是求和式极限；(3)简洁地说，三角形的面积相当于两个长度的乘积。这是因为两个相似图形的面积之比等于这两个图形中对应边之比的平方。这意味着勾股定理可以从更广泛的意义上说：若在直角三角形的每一条边上，我们建立相互类似图形，它们的面积分别为，和, 则有。反过来，我们能找到一组建立在直角三角形两直角边和斜边上的相似图形，这样一来前两个图形的面积之和等于第三个图形的面积，由此来证明定理。事实上，通过绘制高CD我们就能直接找到这样一组图形；，，三个三角形相似，因为他们有三内角分别相等(图1.1)。

1.3

欧几里得的原理(公元前300年前后)，是伟大的希腊文化的纪念碑，其中用系统的论述和严格的逻辑结构解释了平面和立体空间的数学特性。在十九世纪下半叶现代批评的出现之前，它仍然是一个完美无缺的经典的数学论证的例子。早期发现的所谓的缺陷结果被证明是被误解的性质。这个定理即第一本书中的命题47，它的证明了如下(图1.2):

作AB的高线CD延长交GB至K，连接AE，BF，CG和CH。和全等，因为,,,即等边夹等角。的面积与相等，因为这两个三角形同底等高。而与的面积相等，原因同上。由此可见，正方形ACAF的面积与矩形ADKG的面积相等。同样，正方形BCBrsquo;E的面积等于矩形BDKH的面积。

1.4

若，则我们作一个以正方形的一边c为直角边的直角三角形，并以正方形的中心为旋转中心将三角形依次旋转90°至正方形的四边 (图1.3)，四个图形不重叠且与一个边长为三角形两直角边之差的正方形填满广场。因此，我们有

在简化之后我们得到.

这个证明可以在古印度数学家巴斯卡拉(公元1100年左右)的著作中找到，但是根据历史学家康托尔研究，早在公元前几个世纪，印第安人就已知晓这个证明。

1.5

点E、C与F(图1.4)在的外角的角平分线上，画出垂直于直线EF的的角平分线CD，延长GA交EF于K，延长HB交EF于L，延长EA交CD于M，延长FB交CD于N ，分别过M，N作CD的垂线MP，NQ。

显而易见，图中标有相同数字的三角形是全等三角形，则标有相同数字的三角形的面积都是相等的。下面我们来证明这个定理的正确性。从图中我们显然可以观察到，分被割成了两个部分2和3。三角形1，2，3和4的面积分别可以表示为

, , ,.

这个证明是由爱泼斯坦于1906年给出的。这种解剖式的证明方法并不新颖，另一个著名的例子就是由泰比特·伊本·奎拉证明，由阿拉伯基本原理著作者AN-NAIRIZI(公元900年左右)补写的证明。当时，将正方形分为两个三角形和四边形，将正方形分为一个三角形和一个四边形，然后，我们只需要将五个图形重新组合就能得到正方形。

1.6

令人高兴的是，毕德哥拉斯定理的大量证明方法被收集起来并出版，其中包括一些由非数学家的人写的证明，像作家穆尔塔图里(529年的想法)，美国总统加菲尔德。因此，这个定理被当作为了建立客观的标准来衡量一个证明的简单性而比较一个给定的几何定理的各类证明方法的出发点就不是巧合了。例如，引用现有的定理的次数可以作为一种衡量标准。然而，这样的观测结果并没有什么值得关注的，可能是由于选择标准的任意性。此外，哪种证明方法最简单这个问题更像是一个心理学问题而不是一个数学性质的问题。同样的观察比较若是放在研究一个给定的图形几何结构的简单性更加容易得到认同。虽然一些反对意见坚持，由于作图工具——尺规作图的限制性，这种任意性会更少。此外，经济因素可能也在技术纸图方面发挥了作用。这就能解释为什么会关注到莱莫恩（1888）的几何构图法。

1.7

直角三角形与分别以其三边为边长的正方形组成的图形是众所周知的，人们一度提出了用它来展开星际对话。只要有点类似我们文明的文明，即便它在另一个星球，自然也会知道毕达哥拉斯定理。建议在地球上作一个规模巨大的图形，或者通过发光标志，或者作一个麦田圈。来自外太空的第一个回应自然是让我们在悬念中等待，需要必要的耐心。

1.8

除去不利于我们定理的极端重要性，我们必须意识到它对于初等几何的重要性并不是因为它在几何系统中占据中心位置，而是它在计算长度、角度、面积和体积上都十分有用。此外，那些由毕达哥拉斯定理引申开来的“定理”在一般形式下给出这些计算通常不会有更多的结果。在三角函数和初等解析几何中，它是一个基础。然而，它的重要性仅限于在欧氏几何当中；在几何学中构造出的欧式几何的扩展或替代系统中，这个定理就不成立了。在投影，仿射和共形几何中，甚至没有质疑它有效性的意义；在非欧几何如球几何中这个定理就不成立，因为它依靠于相似图形的存在。我们在这里不会探讨这样的问题，就像我们不会去探究那些关于微分几何的有关定理的正确性，或推广一下，对于小三角所构成的问题。

2赛瓦定理

2.1

一个三角形有四种经典的特殊线：角平分线d，中线z，高线h，垂直平分线m。它们是特殊的，因为在任何一个三角形里，每一种的三条线都会同时交于一点，这一点就被称为三角形的一个特殊点。这四个交点的证明可以有很多种方法。目前，我们先不考虑垂直平分线m，因为与d，z，和h不同，它们不会每条都经过三角形的一个顶点，因此不是三角形的赛瓦线。

2.2

其它的三个，关于角平分线d的交点的证明是最简单的，可以利用轨迹的概念。在中，的角平分线包含了所有到AB 和AC距离相等的点。由于具有相似的性质，它和的交点到AB ，BC和CA的距离相等，因此也是上的一个点。很明显，这个论点可以立即扩展到任意三条并发的赛瓦线中。归根结底来说（图2.1），如果t是任意一条经过两线l和m的交点S的线，和是t上的两个点，和是过这两个点做l的垂线段的垂足，同理，和是m上的垂足，那么，它们满足简单的比例关系：.因此，对于一条经过的顶点A的赛瓦线上的点，到AB 和AC的距离是一个固定的比值。此外，如果我们规定把点限制在三角形内，或者至少要在的内部，那么这样的赛瓦线也还是具备这种属性的点的轨迹。

对于经过顶点B的线，令表示其上的点到BC和BA的距离的比值。对经过顶点C的线，令表示其上的点到CA和CB的距离的比值。那么和的交点到AC, BA,和CB的距离之比为，因此如果，那么这个点也在上，这时，。因此，使得赛瓦线,,和相交的充分必要条件是。

如果是从顶点A引出的中线AArsquo;（图2.2），且过点Arsquo;作AB和AC的垂线，垂足为Arsquo;rsquo; 和Arsquo;”，那么和的高Arsquo;A”与 Arsquo;Arsquo;rsquo;rsquo; 之比和底AB 与AC之比是成反比的，即。同理可得，，，因此所需的条件成立。三角形的中线z是交于一点的。

如果是锐角的高线 AArsquo; （图2.3），那么

同理可得：

，

那么三角形的高线h是交于一点的。

2.3

我们已经通过每条赛瓦线上的点到两边的距离之比v推导了每种赛瓦线的情况。我们也可以通过和的面积之比来推导，这是相同的，因为这两个三角形有相同的高，只要知道被分成的两段Arsquo;B和Arsquo;C的比值就行了。由此得到，所以，使得赛瓦线相交于一点的充分必要条件是。在这种形式中，这种定理被称为赛瓦定理(1678)。

2.4

上述定理只有把赛瓦线限制在三角形内才成立。如果我们允许赛瓦线可以往相反的方向延伸，那么证明将不成立，因为这种情况下，满足比例的点的轨迹包含了经过点A的两条线。同意这种问题可以解决，且首次系统地完成的是MOBIUS (1827)，特别的，如果点分布在线的两边，则点到线的距离是异号的。如果点和三角形的三个顶点在一条边的同侧，那么我们称点到三角形这条边的距离是正的。我们也认为边a，b，c的长度是正的。因此，保持关系式导致每个都有一个符号属性。例如，线段BArsquo;和Arsquo;C之比，是正的还是负的就要看Arsquo;在线BC上还是在它的延长线上。

我们用符号反映出了这种情况，因此我们认为PQ 和QP是相反的。如果我们比较一条已知线（或者两条平行线）上的线段，那么我们就用符号的属性来区别。如果，就像赛瓦定理，我们需要的是在三角形同侧的线段BArsquo;和Arsquo;C之比，那么严格来说，就没必要给每条线段单独的符号了。当然，我们可以说BArsquo; 是正的，如果Arsquo; 在BC的同侧；那么如果Arsquo; 在CB的同侧，Arsquo;C也就是正的了。

根据这些公约，比值v总是对应于一条特殊的赛瓦线，且可以是负的。这些方法也同样适用于u，当我们在处理时，如果有必要的话。赛瓦定理的证明是不需修改的，也就是说一旦关系成立，且两条赛瓦线相交，那么第三条就会经过这两条的交点。然而，现在发现，两条赛瓦线和也可以是平行的。如果是这样的话，那么当时，必须和和都平行，这显然是矛盾的。如果我们另外扩展表达“是并发的”包括“是平行的”，则这结论在专业术语方面是合理的，在其他方面是不合理的，那么我们可以说赛瓦定理是不可改变的。在平行的赛瓦线的情况下，下列关系（不能独立）成立：

,,

这当然也意味着。

外文文献出处：

[1]O. Bottema. Topics in Elementary Geometry. [M]. Mathematics Subject Classification. 2000: 1-10.

外文文献原文附后

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