Volterra-Fredholm积分方程的最小二乘法求解外文翻译资料

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Volterra-Fredholm积分方程的最小二乘法求解

摘要：本文介绍了一种有效的数值方法来求解Volterra-Fredholm积分方程，该方法是用最小二乘法来计算最高阶数为n的多项式去近似Volterra-Fredholm积分方程的解。通过收敛性分析证明了Volterra-Fredholm积分方程的近似解对于精确解的收敛。通过一些数值实验证明本了文所提出的方法的有效性和可靠性。

关键词：Volterra-Fredholm积分方程，最小二乘法，收敛性分析。

1. 引言

积分方程是应用数学，物理学和工程学各个领域的主要工具之一，因此，积分方程及其应用文献是很多的。例如，看[1-4]的参考文献。本文中我们考虑形式如下的混合 Volterra-Fredholm积分方程:

其中函数 k1(x, t), k2(x, t), A(x), B(x), h(x) 和 f(x) 在区间[a, b]内是已知的，且a,b是常数,y(x)是待定的连续函数，且。特别的，当h(x)是一阶多项时方程(1.1) 变为按比例延迟的泛函积分方程。在[5,6]，利用著名的巴拿赫不动点定理，可以很容易地证明（1.1）在区间[a, b]解的存在性和唯一性。

研究用数值方法求解积分方程的文献资料很多，详情见[ 7 ]。用极小化方法求解多延迟pantograph方程的方案首先由Bota 和 Caruntu 引进的[8],且该方法得到了一定的发展[9]。最佳平方逼近法被Chen 和Jiang [10]等人应用来求解混合线性Volterra-Fredholm积分方程。同样，数值方法，如泰勒多项式方法也被用求解Volterra-Fredholm积分方程[11,12],泰勒配置方法在文献[13,14]出现，且该方法分别实现对Volterra-Fredholm积分方程（微积分），非线性Schr dinger方程和高阶线性pantograph方程的求解。

在这项研究中，我们关心的是对用最小二乘逼近方法求解Volterra积分方程的近似解的应用，该方法是基于用最高阶为n的多项式来近似Volterra积分方程的精确解。之前的文献[8,9]和[10]的基本方法得到了进一步的发展并且用在解方程(1.1)。并且我们用自己的方法和参考文献[4,11-14]来估算Volterra积分方程的近似解和精确解之间的误差。

1. 解决方法

在本文中我们总是假设函数A（x），B（x）和K_i（i = 1，2）满足一些条件, 使得方程（1.1）解存在而且是唯一的。现在我们来研究用最小二乘法去近似方程（1.1）的解。首先我们定义算子：

对于正整数ngt;0, 假设在区间[a,b]上phi;₀(x),phi;₁(x),hellip;,phi;_n(x)是线性独立的函数，empty;_n=共轭{phi;₀(x),phi;₁(x),hellip;,phi;_n(x)}是线性空间生成的。让,那么存在C₀,C₁,hellip;,C_n满足如下条件:

把(2.2)代入到方程(1.1),我们得到如下表达式

其中

对 ，Rn(x) = T(x, yn(x)) minus; T(x, y(x))是方程（1.1）的n阶余项。其中

备注2.1.如果Rn(x)=0，那么y(x)=y_n(x);如果，那么

备注2.2. 对于，如果Rn(x)=0，那么y_n=(x)是方程（1.1）的精确解；如果，那么y_n=(x)收敛于方程（1.1）的精确解。

紧跟着，令

问题是找到具体的系数c₀,c₁,hellip;,c_n的值使的值为最小。为了使的值最小系数c₀,c₁,hellip;,c_n满足为如下条件：

其中i=0,1,hellip;,n.通过关系式(2.4)我们很容易得到如下关系式

因此，我们有

其中i=0,1,hellip;,n.

为了找到y_n(x),n 1阶线性方程组必须去解n 1个未知系数c_j。把式(2.5)可以写成如下公式

其中

还有

定义2.1.对于每一个，如果，那么叫做方程(1.1)的-近似解。

现在让我们假设方程组是在区间[a,b]上的线性独立方程组，其中如果格拉姆矩阵G_n是非奇异矩阵，那么是方程(2.6)的唯一解。

定义2.2. 如果方程(2.6)有唯一解，那么叫做在集合里的方程(1.1)的最佳平方逼近解 ，empty;_n=共轭{phi;₀(x),phi;₁(x),hellip;,phi;_n(x)}。

备注2.3. 如果，那么最佳平方逼近解收敛于方程(1.1)的精确解y_n(x)。

3.收敛性析

在本节我们给出上一节提出的方法的误差估计。根据第二节求解的过程，我们希望当时，方程(1.1)的最佳平方逼近解y_n(x)收敛于它的精确解y(x)。定理3.1证明了最小二乘法的收敛性。

定理 3.1 假设y_n(x)是区间[a,b]上的精确解，且y_n(x)是方程(1.1)的最佳平方逼近解。如果，,对于，，那么

证明.很容易看出

因此进一步得出

因为，且，所以

这个定理的证明就完成了。

特别的，当A(x),B(x),h(x),f(x)和k_i(x,t)(i=1,2)函数是多项式函数时，存在正整数n，使得方程（1.1）的解是一个阶数小于n的多项式。就是说存在正整数n使得。现在我们考虑A(x),B(x),h(x),f(x)和k_i(x,t)(i=1,2)在定理3.1的证明和备注2.1-2.3中的值，当y(x)是一个多项式时，我们可以得到如下推论

推论3.1 如果A(x),B(x),h(x),f(x)和k_i(x,t)(i=1,2)是多项式函数，那么存在正整数n使得y_n(x)=y(x),且y_n(x)也是一个多项式函数，其中y_n(x)是方程(1.1)的最佳平方逼近解。

1. 数值例子

在这个部分中，给出了三个例子来说明上面所得到的方法的应用，还有通过跟Ref[4,11-14]里的方法比较来证实上面所提到的方法的有效性。计算误差如下

其中e_n(x)=y(x)-y_n(x)。为了计算方便，在接下来的三个例子里为了计算方便让empty;_n=共轭{phi;₀(x),phi;₁(x),hellip;,phi;_n(x)}是一个n阶多项式函数空间。

例4.1 考虑下面的自由积分方程

这个方程的精确解是y(x)=cos(x)，取，

我们看到用我们上面提到的方法得到的近似解在整个积分过程中有很高的准确度。从表1和图1中我们可以比较我们上文介绍的方法(method 1),泰勒多项式法(method 2)[11,12],和泰勒配置法(method 3)[4,13,14]计算的近似数值解和精确解之间的误差。

表1 例4.1的误差比较

图1例4.1当h(x)=x时的数值解和误差

例4.2 思考下面的Volterra-Fredholm积分方程

其中

这个积分方程的精确解y(x)=log(x 1)。我们看到用我们上面介绍的方法得到的近似解在整个积分过程中有很好的精确度。从表2和图2中，当时我们可以比较用我们介绍的方法（method 1）,泰勒多项式法（method 2）[11]，泰勒配置法（method 3）[4,13,14]计算得到的误差。

表2 例4.2的误差比较

图2 例4.2当时的数值解和误差

例4.3 考虑如下Volterra-Fredholm积分方程

其中（y,f）分别取如下：

，

。从表3和图3中我们可以比较我们上文介绍的方法(method 1),泰勒多项式法(method 2)[11,12],和泰勒配置法(method 3)[4,13,14]计算的近似数值解和精确解之间的误差

表3 例4.3的误差比较

图2 例4.3当 时的数值解和误差

表1-3给出的误差值证实了我们在例4.1-4.3里的说结论，我们的方法比上面其它所有的方法的精确度都很高，这个事实在图1-3观察的更清楚。如果方程的解是多项式，我们可以通过我们的方法得到精确的解（看例题4.3），且证明了推论3.1的可靠性。

1. 结论

最小二乘法是解Volterra-Fredholm积分方程的有效的数值方法，其基于n阶多项式来计算Volterra-Fredholm积分方程的近似解，且该方法已经发展成一个严谨的理论。该方法的可靠性和有效性已经被数值实验得到了证明。在短时间内我们的方法被认为是求解积分方程的近似解的最有力的工具。值得一提的是本文提出的方法可以推广到求解工程中二维（或更高维）的积分方程的应用。

致谢作者感谢审阅人认真的阅读，有用的评论和为了改进本文给出的有价值的建议。

参考文献

[1] F. Bloom. Asymptotic bounds for solutions to a system of damped integro-differential equations of electromagnetic theory. J. Math. Anal. Appl., 73 (1980) 524-542

[2] K.Y. Wang, Q.S. Wang. Lagrange collocation method for solving Volterra-Fredholm integral equations. Applied Mathematics and Computation, 219 (2013) 10434-10440.

[3] K.Y. Wang, Q.S. Wang. Iterative method and convergence analysis for a kind of mixed nonlinear Volterra-Fredholm integral equation. Applied Mathematics and Computation, 225 (2013) 631-637.

[4] K.Y. Wang, Q.S. Wang. Taylor collocation method and convergence an

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