天线阵列处理的近似核正交化外文翻译资料

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天线阵列处理的近似核正交化

IEEE高级成员AngelNavia-Vaacute;zquez，IEEE高级成员ManelMartiacute;nez-Ramoacute;n，

IEEE成员Luis EnriqueGarciacute;a-Muntilde;oz和IEEE研究员Christos G.Christodoulou

摘要

我们提出了一种使用高斯核作为基函数的核天线阵列处理方法。 该方法首先通过使用改进的稀疏贪婪矩阵近似来识别数据聚类。 然后，该算法执行模型缩减，以尝试减小波束形成器的最终尺寸。 在包含4个和5个用户来自不同入射角的情况下，通过模拟测试了该方法，该模拟包括由两个和七个打印的半波长厚偶极子组成的两个阵列。 对所有DOA都模拟了天线参数，其中包括偶极辐射方向图和阵列的相互耦合效应。 将该方法与其他最新的非线性处理方法进行了比较，表明所提出的算法具有近乎最佳的性能以及较低的计算负担。

关键词：天线阵列处理，波束成形，DOA，核方法，支持向量机。

一.引言

众所周知，线性的单用户信号检测模型在大多数阵列处理方案中不是最优的，因为最佳解决方案通常采用非线性形式（例如，参见[1]，经典调查[2]或对多径问题的应用）。 [3]中的数组处理）。 此外，当传感器的数量少于用户数量时，线性模型根本不起作用，在这种情况下，阵列无法消除所有不需要的用户信号，从而无法继续检测所需信号。

自从引入以来，机器学习算法已用于信号处理应用程序。 这些算法通常本质上是非线性的，这使得它们比线性算法更强大，因为它们可以更好地适应给定数据的统计特性。 此功能减少了估计误差或轨道误差率。在其他阵列处理任务中，建议将神经网络[4]用于波束成形（例如[5] – [7]）和到达方向估计（例如[8]，[9]）。一种在文献[10]中可以找到对神经网络天线阵列处理的综合汇编。

然而，诸如神经网络之类的机器学习算法会遭受严重的缺点，例如过度拟合或局部最小值，这会导致次优解决方案。 这些算法可能还需要调整大量的自由参数，这常常使它无法在某些信号处理应用中使用。

核方法是模式分析的范式，源于Mercer定理[11]，[12]。它们提供了公认的线性方法的直接非线性扩展。 内核方法使用数据的非线性映射到更高维的希尔伯特空间（也称为特征空间），在这里人们可以使用可以用点积表示的任何线性算法。 当解决方案映射回输入空间时，我们获得该算法的非线性版本，同时保留了其他有趣的属性：自由参数数量少，复杂度控制或解决方案的存在和唯一性。 有兴趣的读者可以参考[13]，对内核方法进行全面而全面的介绍。

在过去的几年中，对线性算法的数量进行了内核化处理，以为它们提供非线性特性，即Fisher线性判别分析（LDA）[14]，偏最小二乘（PLS）[15]，岭回归（RR），主成分分析（PCA）[16]，频谱聚类（SC） ）[17]，规范相关分析（CCA）[18]，独立成分分析（ICA）[19]，ARMA模型[20]或伽马滤波器[21]等。 支持向量机（SVM）[22]，无论是线性的还是内核化的，由于它们在许多现实世界中的问题中表现出色而变得非常流行。

内核方法已用于天线处理中，因为它们的非线性特性使用户可以在用户比阵列元素多的环境中检测信号。这些应用大多数基于SVM分类器[23]-[27]和SVM回归机[28]-[33]，它们都具有重要的优势。它们通常对非高斯噪声具有鲁棒性，尤其对高振幅（离群值）采样具有鲁棒性。当可用于训练的样本数量较少时，SVM的复杂度控制属性将产生偏离最佳值的解决方案的风险降到最低。即，它们使过度拟合现象最小化。此外，SVM可以产生稀疏解决方案，从而提供低复杂度的估算器。但是，它们的计算成本很高，因为它们处理的维数等于数据的数量（批处理），并且无法在可用时引入有关数据的先验信息，例如在通信的数组处理中。在[34]中，得出了非线性波束成形的最优解，并使用正交前向选择程序提出了一种基于渐近核的自适应波束成形器。 这些算法中的大多数是为真实的二进制信号而设计的，要扩展到一般QAM或FSK信号并不容易。

在信噪比足够高的波束成形方案中，数据采用具有中心对称性的高斯簇的形式，其性质直接取决于传输的星座。 这些特征很容易被利用来构建基于内核的近乎最佳的，计算效率高的算法。 在目前的工作中，我们提出了一种通过使用改进的稀疏贪婪矩阵近似[13] [35] [36]来识别聚类的方法，这是对内核主成分分析的有效增量近似。 其次，该算法执行模型缩减，以尝试减小波束形成器的最终尺寸。

在这里，我们在两个现实的环境中测试该算法。 在第一种情况下，我们在3 GHz上使用两个半波长粗偶极子，并使用BPSK符号的4个用户，以便将该算法的性能与其他方法进行比较。 在第二种情况下，我们使用7个这样的偶极子来形成线性阵列，以检测来自四个用户的QPSK信号。 在所有情况下，都要考虑耦合效应。

二.问题陈述

让一个M元素的阵列天线从L个用户（假定用户数量不变）接收具有L个唯一到达方向（DOA）, 的信号（如图1所示）。 阵列快照的矩阵形式为

(1)

其中s [n]是输入信号的矢量，n表示时刻，n [n]表示加性高斯白噪声（AWGN）矢量，A是输入信号的导向矢量矩阵，

(2)

其中

(3)

其中是波长，d表示阵列元素之间的距离。

假设所需信号是传入信号矢量的元素。此信号的线性估计器可以表示为

(4)

图1.带有输入信号的元素的线性阵列

该估计器必须将干扰信号的影响降到最低，这可以通过在这些信号的DOA中放置传输零来实现。显然，可以放置的零数等于L-1，因此当信号总数 大于元素数量，则不能保证估算器正常工作，因为部分干扰不会被数组拒绝。

可以通过将输入数据非线性映射到一个更高维的希尔伯特空间来修正这种情况，在该维希尔伯特空间中，可用维数远大于干扰源数。

参数向量也将具有较高或有限的维数，原则上，这将使计算负担增加到压倒性的数量。 这个问题被称为“维数的诅咒”。 但是，可以通过两个事实来避免这种情况。 第一个是某些希尔伯特空间提供了一个点积，可以表示为输入空间（核）的函数，即。 这些就是所谓的复制内核希尔伯特空间（RKHS）。 第二个是参数向量位于给定数据所覆盖的子空间中，因此可以表示为这些数据的线性组合。

这些事实在非线性估计中的应用通常称为“内核技巧”，因此产生了“内核估计”类。它们具有线性属性，但是优化相对于参数是线性的，并且其数量最多等于可用于的数据数量。 训练。 它们在第三节中开发。

三.产生内核希尔伯特子空间的估计

可以表示为数据之间的点积的线性组合的一类线性算法可以通过Kernel Trick进行非线性处理。 基本思想是将数据非线性转换为，将其转换为高维（可能是无限的）Hilbert空间，对此，相关的点积可表示为输入数据的函数，即

(5)

这样的功能称为Mercer内核。 带有内核的希尔伯特空间是RKHS。 默瑟定理[11]指出了在希尔伯特空间中核成为点积的条件。 尤其是，它说，当且仅当是希尔伯特空间中的积分算子，即内核满足以下条件时，才存在如（5）中的映射函数和函数：

(6)

对于任何可积平方函数。 遵循这些概念，可以将输入空间中的非线性估计量表示为中的线性估计量：

(7)

其中w是线性参数集（现在假定其维数大于M），是估计的输出与期望的输出之间的误差；常数b是标量偏差，由于非线性估计可能存在偏差，因此需要添加标量偏差 参数向量w始终位于训练数据所覆盖的子空间中，并且根据表示定理[37]，可以将其构造为给定数据的线性组合

（8）

其中是训练数据对。然后，公式（7）可以重写为

（9）

在这种情况下，w被称为原始参数，而被称为对偶参数。 如（9）所示的优化估计量的问题称为对偶问题，对于原始问题无法直接解决的情况非常有用。 例如，定义时，用MMSE准则从（7）中找到w会导致众所周知的Wiener-Hopf解，其中自相关矩阵R可以计算为。 由于向量具有无限维，那么R也将具有无限维，因此它的逆不存在，并且原始问题无法直接解决。

然而，使用（9）和MMSE准则找到包含所有参数的向量的双重问题导致解，其中是包含数据之间所有点积的矩阵（Gramm矩阵），其维数为。

但是，K通常是秩排序的，并且发现其逆数仍然是病态问题。 在下面的内容中，我们将描述如何在非线性波束成形的特殊情况下进行处理，以获得对该问题的有效解决方案。 我们的目标是在特征空间H中建立模式的compactrep表示法，以使降低复杂性的解决方案成为可能，从而提高计算成本和算法稳定性。

在波束成形的情况下，输入空间中的模式的几何形状通常采用高斯群集群的形式。 例如，在BPSK情况下，发射器的星座具有两个高斯簇，每个簇对应一个不同的符号。 在接收器上，当存在来自用户的信号时，我们总共有个高斯簇（对于L个用户的一般情况为，S个为不同的符号）。 为了使系统可用，信噪比（SNR）必须足够高，这样我们才能获得低至或的误码率（BER）。 在这些情况下，高斯簇在输入空间中明显分离，这导致H中具有特定的几何形状。

减少以H非线性投影的数据复杂性的最佳方法是应用内核主成分分析（KPCA），识别主要方向（特征向量）并沿这些主要方向投影模式。 H中的这些主要方向可以直接解释为输入空间中的簇[38]。 但是，我们必须解决所谓的原像问题，即在输入空间中找到其投影最接近H方向上这些主方向的图案。考虑到我们问题的特殊几何形状，该过程将确定个主要方向，每个与 输入空间中的一组数据。 由于计算量大，在实时环境中应用KPCA技术是不可行的，并且需要更有效的近似值，而无需计算原像。

目的是确定H中的正交基，该正交基以最小的最小二乘误差近似模式。 存在找到这种基础的有效近似方法，例如稀疏贪婪矩阵近似方法（SGMA）[13]，[35]，[36]。 SGMA建议以增量方式操作，一个接一个地选择要添加到基础中的元素，以使每个新添加的元素都最大程度地减少图案的逼近误差。 因此，每个投影图案都是R基本元素的函数，其中是使用本节末尾描述的过程选择的中的向量

(10)

获得最佳权重为

(11)

当满足和时，选择元素，以使我们最小化阶段R的近似误差，对所有模式取平均值

（12）

通过直接处理已经存在的输入模式的投影，我们避免了在实时环境中无法使用的原像的计算，因为如[39]，[40]中所分析的那样，原像的计算非常麻烦并且容易陷入局部最小值。 为了公式（12）中的，SGMA建议贪婪地进行以识别要在每个阶段添加的新基本元素。 如果将候选项添加到已经存在的基数中，则错误减少为

（13）

其中，和。 评估训练集中的所有模式作为候选者非常无效率，因此在每个阶段都选择一个随机子样本。 在每个阶段评估总共59个候选模式，从训练模式中随机选择1个，并将值最大的一个添加到基础中。 在我们的案例中，我们观察到倾向于选择尽可能靠近每个高斯聚类中心的第一个候选对象，此外，由于高斯分布良好，倾向于形成正交基数，或者等价于， 更精确地讲，在过程开始时，当库为空时，对第一个元素的选择减少了，从而找到了计算出的最大的候选对象。

(14)

如果我们假设，那么我们可以独立于其他基本元素进行每个步骤。 SGMA的这种近似版本已被称为近似内核正交化（AKO），适用于在我们的情况下在输入空间中数据簇很好分离的情况。 一旦添加了第一个元素，我们就可以通过测量每个投影图案和新添加的基础元素之间的角度来识别主要投影到该组件上的那些图案

(15)

使用高斯核时，可以简化为简单的计算

(16)

我们确定那些更接近的模式，即那些使得的，并将它们从训练集中删除。 我们使用（14）重复候选者评估过程，并如（16）中所示去除更接近的模式，直到训练数据集为空。

为了进一步改善模型，我们将每个基本元素重新定义为

(17)

再一次，为避免处理原像，我们建议近似（17）

(18)

与基本元素相关联，我们还注释了在N模式中最常出现的符号标签。 找到基本元素后，将（9）中的模型简化为

(19)

其中R是基本尺寸，权重现在可以计算为

(20)

当，由于这是二次形式，所以可以说存在性和解唯一性在这里成立。 我们可以通过注意到（除了比例因子），隐式正交归一化和（除了比例因子）来进一步简化此计算，这些标签是在基础构建过程中确定的。 因此，在估算模型

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