数与形组合在高中数学教学中的应用——以函数为例

文摘：注重数与形状结合的思想，结合高中数学教学中最新的研究理论和经典实例，详细说明数与形状结合的具体应用问题，说明数与形状结合的思想在高中数学学习中具有重要价值。通过查阅相关研究文献，阐述了数与形状结合的理论，选取了高中数学函数的经典实例，详细分析了数与形状结合的使用方法。最后，得到了不同情况下数与形状组合的适用方法。目前，图形与形状相结合的思想具有很强的实用性。

关键词：数字与形状的组合；高中数学；功能

数字与形状结合的概念介绍

在数学中，相应的数学方法是非常重要的。数学方法是用数学语言来表达事物的状态、关系和过程，并用推导、计算和分析来形成对问题的解释判断和方法[1].在当前的高中数学中，“数字”和“形状”是两个重要的作用，它们对应的方法是数字与形状的结合。中国著名数学家刘正杰先生。华罗庚曾经说过：“数字和形状的结合很好，一切都是分开的。”事物的具体化通常主要包括两个层次，即“用形状来辅助数字”和“用数字来解决形状”。利用这个想法，我们可以解决诸如集合、函数、序列和解析几何等问题。就函数问题而言，主要是利用函数图像与函数公式的结合，通过图像及其几何意义，从而快速得到隐藏条件。因此，“数字”和“形状”是相互补充的，是必不可少的。

数字与形状结合的教育价值分析

虽然数字和形状的结合在任何可能的方面都很好，但它的真正价值是什么？

解决问题的价值

解决问题的价值是数字与形状结合的重要价值之一，也是在我们日常思维中运用数字与形状结合的过程中最能体现出来的价值。数学门学科最初是一门抽象的学科。它所包含的大多数数据、想法和主题都是这样的

抽象的东西。随着数学学习难度的增加，一些主题往往包含隐藏的条件，而这些隐藏的条件往往需要特殊的方法和思维来挖掘，而这些隐藏的条件往往是解决问题的关键[2].将数字和形状组合起来的想法是一种帮助我们挖掘隐藏条件的工具。从问题的本质来看，我们最基本的目的是使手头复杂的问题变得简洁明了。也许有些数学问题可以不使用数字和形状的组合思想来解决，但这个过程会更麻烦，这往往是容易出错的，所以它是合理的。将数字和形状相结合的想法可以有效地简化这个问题。当面对一些困难的数学问题，没有办法解决问题时，尝试用数字和形状的结合，也许他会给你指出解决问题的方向。虽然几何图形显示我们的是具体和直观的，但在准确性方面，我们仍然需要“数字”来帮助。“数字”的准确性，加上几何图形的直观特殊性，可以帮助我们更好地解决问题。

思维训练价值

在数学学科中，直觉思维占了很大一部分。学生在解决一个数学问题时，会利用他们所学到的数学知识，对数学的对象和结构做出快速的判断，从而做出假设并得出结论。总之，它具有一种跳跃式的思维方式[3].数学具有逻辑思维严谨和灵活的逻辑思维两个特点，这要求我们解决问题的思维灵活和严谨。我们需要从不同的角度来看待和解决问题。在日常解决问题的过程中，得到答案并不是最终的目标。目标是在所有解决问题的方法中得到最优解，并最终有效地解决问题。人的大脑被分为左半球和右半球。左半球负责抽象数据的计算和推理，右半球负责对视觉和直观事物的思考。我们必须善于将文本和数字信息转化为图像信息，用图像思维取代抽象思维，然后利用图像思维来促进抽象思维的培养，同时让我们发展一种直觉思维能力。在解决数学问题的过程中，对问题的第一种感觉，即直觉是非常重要的。数量和形状的结合是为了让我们的左半球和右半球同时运作，两者共同努力来解决问题。

其他价值

数字与形状的结合在解决数学问题中起着非常重要的作用，它对我们的大脑记忆的改善也有一定的影响。在日常生活中，我们需要花大量的时间来背诵和记住那些抽象的单词和代数，但对于那些直观和具体的图像，我们可以很容易地记住它们[4]，所以我们也可以将这些抽象的代数预测转换为具体的图形符号语言，这样我们就可以更容易地记住这些图形符号语言来取代那些模糊的代数语言。

数与形组合在高中数学函数问题解决过程中的应用

在数字与形状结合的众多实用价值中，最重要的是他的解决问题的价值，所以我们需要通过具体的经典例子来展示他的解决问题的价值。

数字与形状相结合的三种思维方法

数与形状结合的思想主要包括三个思想：“塑造数”，通过分析图中的定量关系，将几何问题转化为代数问题，然后通过计算求解问题。通过将复杂的代数问题转化为更简单的几何问题，并挖掘出问题中的隐藏条件，来解决这个问题。“数字和形状转换”

通常用于解决抽象函数的问题，它需要图形和代数之间的相互转换，并使用综合思维来解决问题。

形状数函数方程问题

在与“塑造数”方法有关的函数问题中，通常知道函数图像的全部或部分函数图像和函数形式是已知的，然后需要从函数图像中导出相应的函数表达式[5].在这类问题中，最典型的是三角函数的问题。为了解决这类问题，我们通常需要首先了解与期望的类型函数相关的图像属性，然后逐个破解表达式中的未知常数项。

示例：给定函数

在哪里

f (x)  Asin(x  )

(1)

( A  0,  ,  0 ) (2)

2

部分图像如图所示，找到了图像的表达式f (x)以及它的对称轴方程。

2

1.5

f (x) = 2∙sin 2∙x



pi;

6



1

11pi;/12

0.5

pi;

2

pi;

3

pi;

6

pi;

6

pi;

3

pi;

2

2pi;

3

11pi;/12

5pi; pi;

6

7pi;

6

4pi;

3

0.5

1

1.5

2

2.5

解：根据给定的函数图像和三角函数的性质，我们可以得到它

该函数的最大值f (x)max 2，所以我们可以得到一个2，和要点(0,1)是在函数图像上，带来的吗

这一点进入了函数的表达式

你可以得到

f (x)  2 sin(x  ) 1  2 sin(  0  )

(3)

(4)

计算后 ；然后我们找到了重点 也在函数图像上，所以我们可以得到

6

(5)

经过计算后的2，，因此原函数方程的表达式为



f(x)2sin(2x )

6

(6)

然后得到了该函数的对称轴方程。首先，我们首先绘制该函数的图像

g(x)sinx,

f(x)=sin(x)

2

1.5

11

1

0.5

5pi;x

4

pi;

3pi;

4

pi;

2

pi;

4

pi;

4

pi;pi;/2

2

3pi;

4

pi;

5pi;

4

0.5

1

1.5

我们可以得到这个函数的对称轴方程g(x)作为



x  k 

(k  Z )

2

(7)



那么，如果它是要找到的对称轴

f(x)，我们可以考虑(2x

)作为一个整体，并得到

6

2x 

6

 kx 

2

(8)

所以对称轴方程

f (x)是

x k(k  Z ) (9)

2 6

而这些点可以根据f (x)功能图象



( ,2)

6

在对称轴上是

功能

f (x)

同时，和

k  0

可以通过引入它得到，所以对称轴方程是

已建立的

备注：根据功能图像，寻找直观和有用的信息往往可以快速得到

一些有用的数据，避免了繁琐的计算。

• 1. 数字形状-函数的单调性的问题

在与“数字化”方法相关的函数问题中，通常用标题告知相关的函数表达式，然后根据该表达式计算出函数的单调区间、单调性、增减性[6]. 以求函数的单调性和单调区间问题为例，利用传统的计算方法，根据函数的性质求出最大、最小和对称轴，以确定函数的单调性和单调区间。然而，在这类问题中，计算往往过于复杂，容易出错，但如果我们使用数字和形状的组合，并结合相应的函数图像的想法，我们可以直观地看到函数的单调区间和单调性。

示例：找出函数的单调区间

f (x)  x x  3 x

(10)

解：不难看出这个函数是一个分段函数，所以我们可以先把它展开来得到

x2 3x, x  0

f (x)  x2



 3x, x  0

(11)

然后根据这两个一维二次方程绘制出原始的函数图像：

5

g(x) = x∙x 3∙x

h(x) = x∙x 3∙x

4

3

2

1

1.5

10x

8

6

4

2

2

4

6

8

10

1

2

-2.25

3

4

所以我们可以得到这个函数的单调区间

f (x)

是，当x的范围是时 那

函数单调增加，当x的范围为(0,1)，该函数单调地减小。

注释：如果标题中给出的函数表达式是我们熟悉的通用函数，那么我们可以直接制作他的图像，轻松快速地得到答案，避免了繁琐和容易出错的计算[7].

• 1. 数字和形状转换-抽象函数问题

“数字-形状转换”的思想实际上是前两种方法的结合。面对一些更复杂的抽象函数问题，我们可以全面、灵活地利用“数”和“形状”之间的相互转换来实现简化。

例如：如果是二次函数的图像

y  f (x)通过原点，并且

查找的值范围

f (2).

1  f (1)  2,3 

f (1)  4

(12)

解决方案：不难看出这个主题没有给我们一个清晰的函数表达式，而只是告诉我们这是一个二次函数，所以这是一个未知的抽象函数，所以我们需要设置原始的函数表达式

(13)

根据有限的条件，所以得到

按...所说

1  a  b  2

3  a  b  4



(14)

1 



3 

f (1)  2

f (1)  4

(15)

然后制作这一组不等式的形象：

g(x)

4

f(x)

h(x)

f(x) = x 4

g(x) = x 3

h(x) = x 2

q(x) = x

3

q(x)

1

2

1

(2,1)A

B(3,1)

6

4

2

2

4

6

8

1

2

图

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