数学教育启蒙模式文化外文翻译资料

数学教育启蒙模式

文化

摘要：文学评论显示，在数学史期间，在学校，“真正的数学”的答案各不相同。参数将是

在这里定义为“真正的数学”任何参与数学的活动实践。承认学校做法的话语性要求，深入分析课堂话语的概念。进一步分析这个问题使用Bakhtin的言语类型的概念。类型特别是作为一种手段对话者作为正在进行的数学的合法部分来评价话语。言语类型的概念在残疾人中产生了文化历史层面，课程应该由教师演示的工具，规则，和数学社群传递的规范。这有几个后果为老师的作用。他或她的数学态度表现出新趋势从数学社会的历史（如系统性，非矛盾性等）随后可以由学生在话语中模仿和挪用。数学态度是数学实践的文化历史维度之间的联系个人数学思维。

关键词：活动，工具，话语，参与，风格，态度

“数学”被广泛认为是学校教育中无可争议的一部分。在过去的五十年里，数学的课堂方法

从根本上改变了从钻研和实践的事情，基于问题的方法。每种形式的数学教育做出关于什么是数学的主题的假设真的是，因此，学习个体应如何与其他相关成员的更广泛的文化，以适应这个据称是真实的数学“，或者更直接地说，以适应所采取的是一个给定社区的数学。 学校的责任的一部分是引导学生进入知识和教学的社区数学可以被看作是启发学生的过程，数学界的理论。事实上，学生从他们的生活的开始是广泛应用数学知识的实施例的社区的成员。学校注重这些实施例及其潜在的见解，并且通过这样做幼儿进入一个新的理解世界，用新的约定，规则和工具。所以，基本上，这里是一个重新文化的过程，其中学生被协助将成员从一种文化转换到另一种文化。 Buffee的（1993）对这一过程的深刻分析将再次文化描述为一个复杂的，通常甚至是痛苦的过程：“再培养涉及放弃，修改或重新谈判构建，建立和维持的语言，价值观，知识， 社会一个人来自，流利，而不是在另一个社区的语言等等“（Buffee，1993，第225页）。

教育史教导我们，学校已经试图以各种方式支持这种重新文化过程。在这些方法的基础上有不同的假设，关于数学在教室的性质，以及关于教师应该如何与他们的学生在教室里沟通的方式。在这篇文章中，我将尝试将Bakhtin的方法应用于数学教室中的话语，特别是关注如何将这个课堂中的参与者链接在一起的问题以及要构建的共同背景，以便构成一种说话和互动，这将被承认为一个数学话语。最后的目的是找到一种方法描述一些必须满足的条件，以确定教室的活动真的可以算作“数学”。然而，没有直接的经验方法，通过观察大量现有的课堂实践和描述巴赫蒂尼亚语的事件来实现这一点。当我们将“数学”的学科视为“社会传统化的话语框架”（Steinbring，1998，第364页）时，我们还必须承认，如斯坦布林所说，不仅事实技术数学运算涉及数学活动但是认识论约束和社会约定也是这个过程的一部分。巴哈金语的术语的应用要求将隐藏的假设带入公开，因为它们可能共同决定话语过程的风格和过程，以及涉及的权威和权力关系。

在每个数学教室中隐含或明确应用的值之一是关于什么真正被视为数学的一个想法。在这些观念的基础上，数学教育研究人员，课程开发人员和教师决定什么是相关的，甚至是强制的，考虑在数学课和课程。在他们的数学认识论的基础上，教师对学生的活动进行观察，并选择一些行为是否相关，他们认为某些行为是“好的”或者将他人评价为假的或不重要的（van Oers，2000b）。显然，这里有一些关于什么是数学真正是什么，或者 - 更温和地制定的规范，有助于决定一个特定的行动或话语是否可以算作“数学”的规范理念：一个老师专注于数字和数字，另一个关于结构，而第三个可能强调解决问题的重要性。将孩子以某种方式介绍到数学世界和其相应的言语类型可能意味着教他们确定什么是真正的数学和什么不是的假设。

数学真正是什么的想法，当然不只是一个教育问题。 数学哲学的许多参与是基于这个相同的查询（参见例如Rotman，1988）。 虽然在数学作为一个智力学科和一个人对数学教育的观点之间可能采取的认识论立场之间可能经常有一种关系，我将直接集中在关于教育（学校，课程）中的数学的想法。

正如布尔迪厄（Bourdieu，1982）已经指出的，教育通过隐含地（隐藏在特定社区的惯例或习惯中）或者明确地表示出创造人们之间的区别的价值观而在一个学科的制度化中发挥了非常重要的作用，其中一些作为（说）数学家或不是，数学教育或不是，等等。在类似的情况下，我将在此论证什么是数学的概念，什么不是在教育中发展，并且掌握这个价值标记显着的那些谁将被承认为数学教育（例如谁可以通过考试），谁不能。因此，必须找出什么样的数学概念被使用，以及对于教师和学生之间的关系，以及对于数学中的课堂话语的组织的影响。据推测，在教室里真正的数学的概念是构成数学课堂的语言类型的基本价值之一。

2.作为学校主题事项的数学观点

关于数学主题究竟是什么，存在许多不同的概念。 真正的数学在教室里表现为不同的面孔，对于教师（作为文化的代表）和学生之间的关系，以及对于在数学教室中交流的概念，有不同的影响。至于数学教育，我们可以区分不同的观点，在教室里什么算是真正的数学。

2.1“数学”作为学校的主题事实上是关于算术运算

这是古典的观点，以前在学校的算术教育中是非常常见的。儿童在机械练习计数或求和时，被认为参与真实的数学。重点是掌握算术运算。这是真正的数学应该是什么样子。这个观点与可以用诚实的辛劳发现的永恒的数学真理的柏拉图的想法有关。在教育实践中，让所有的孩子自己发现数学并不是有用的。由于数学知识被假定为由固定实体构成，因此还认为数学知识的要素可以传送给儿童。这种方法的主要交际风格遵循发送者 - 接收者模型，其表明需要直接指导语言来规定孩子们如何处理数字。这种观点不可避免地意味着一个教师对他的学生的特殊威权关系。老师（作为知道的人）将数学知识传递给学生（他们还不知道）。关于学校数学的公共话语大多仍然遵循这个观点。

2.2“数学”作为一个主题事实上是关于结构

数学的主题在这里被设想为基本上处理必须应用于具体情况和问题的抽象结构。订阅这个观点的教师或课程开发者认为，孩子们在处理抽象结构以组织实际情况或解决数量和空间问题时，真正参与数学。一般认为，基本的抽象结构已经可以在幼儿的游戏活动中看到（见Picard，1970; Dienes and Golding，1966,1967aandb），从这些结构可以提升并进一步发展成明确反映的数学结构。 Piaget（1966）和Davydov（1972）显然赞同这样一个关于数学在学校的观点，虽然他们对结构的本质的看法是绝对不同的。在他们对基本结构的论述中，他们指的是法国数学家集团Bourbaki，他试图在几个基本的母亲结构的基础上写出一个确定的数学史，从而产生新的，更具体的嵌入结构，直到所有的数学知识可以被分类为一个结构化整体中的元素（参见例如Piaget，1969a，第70-71页）。然而，对于皮亚杰来说，基本结构是人类逻辑思维结构的结果;对于Davydov这些结构，我们重新认识了人类思维中构建整个数学知识的最好的历史产物。尽管他们的根本区别，但是，皮亚杰和达维多夫辩护一个观点的真正的数学活动，强调结构的重要性。再次，尽管它们存在理论上的差异，但作者致力于这种观点，传播积极的学习方法（参见Picard，1970，p.15; Piaget，1969b; Davydov，1972,1988），其中探索或沟通可能发挥突出作用。所谓的“母结构”被认为是数学教学和交流的真正目的。

从他们的工作，很明显，没有一个这些教育者会传播直接传输任务教学。相反，在情境和问题中提供所需的结构，使得孩子可以逐步地 - 或多或少地帮助 - 构建基本结构并且随后在新的问题情况中应用这些结构。正在建造和应用这种结构的孩子被认为从事“真正的数学活动”。

2.3“数学”作为一个主题事实上是用符号工具解决问题的活动

在这种观点下，教室里数学的真正主题是在自己发明的工具的帮助下，在对学生有意义的现实情境中解决问题。 Freudenthal的开创性工作在这里很重要。在他的许多书中，他借助于以原理方式组织经验领域的工具（Freudenthal，1973，1978，1991），将他对数学的看法解释为人类解决问题的活动。在弗洛伊登塔尔看来，所有的数学概念，结构和想法都必须考虑到它们首先被创造的现象（Freudenthal，1984，第9页）。这使他将数学概念和结构总是作为解决问题的功能和语境化工具，但它们始终是相对于它们起源的语境来构思的。结构，然后，永远不能被视为永远固定。结构只是暂时稳定的接近问题的方法。在学校的数学活动 - 为了现实 - 应该首先关注结构化的过程，而不是掌握固定和规定的结构。这种对结构的强调与对结构的强调之间的区别正是Freudenthal对Davydov和Piaget的批判的核心。

这种真实数学的变体确实促进了异质群体中的主动学习和交流。因此，讨论是这种方法的一个重要因素。弗洛伊登塔尔强调数学的现实生活中的有用性（“如果没有用，数学不会存在”，弗洛伊登塔尔，1973年，第16页）经常被解释为强调数学思想应该从上下文的现实生活特性起源。数学的现实主义在自我发明的数学在一个有意义的问题的适用性中被看到，对许多人来说，这似乎意味着一个现实生活中的问题。对于Freudenthal，这也包括在异质学生群体中的交互式问题解决。老师从安全距离跟踪过程。这个观点在荷兰非常受欢迎，其中大多数学校使用基于Freudenthal的想法的真实的数学课程。关于数学活动的现实主义包括在有意义的问题的背景下，在自我发明的，社会评价的工具的帮助下建构性地解决问题的观点。

尽管这种观点在数学教室的内容和活动中可能产生巨大的创新，但它却带来了严重的危险，因为它只专注于数学思想起源的语境的真实生活质量。可以想象，如何更高，抽象的数学思维水平可以基于现实生活的情况。一个孩子怎么可能发现他或她正在做数学，更不用说什么数学论证，证据或系统暗示，只是涉及（现实生活中的）问题？孩子们应如何从他们无尽的选择中选择那些具有数学相关性的行动？事实上，学生之间的对话可以具有关于最终可能被选择为可接受的话语或动作的选择性功能。但是，仍然没有根据来假设在他们的对话中的孩子应该选择数学上相关的命题。实际存在的非专家学生之间的对话缺乏将他们自己的行为与文化（数学）实践的意义联系起来的标准。这种对话是重要和必要的，但显然是不够的。由于缺乏对这个问题的一个清晰和一致的解决方案，教师往往倾向于“真正的数学”（结构导向或操作导向）的其他方法。当然，有可能延伸的意义基于“，并让它涵盖每一个有意义的上下文（包括个人有意义的抽象问题）。同样，也可能接受教师定义数学领域的孩子，告诉孩子在数学上可接受或不是，但这显然不是“现实”在弗洛伊登塔尔的意义上的词。然而，这种方法没有给出对这个问题的启示的明确概念性答案。苏珊的答案将导致我们分析的感觉和意义的问题。不清楚这些是如何在概念上整合到弗洛伊登塔尔的教学现象学的框架中。

Gravemeijer（1994，1997a）提出了更广泛和更自由的解释弗洛伊登塔尔的现实数学概念。个人发明（如解决乘法问题或几何问题的方法）被视为社会产品，可能发展成更高层次的抽象，并不断反馈到社区，并促进社区的发展。因此，个人和社区共同发展（参见例如Gravemeijer，1997b）。 Gravemeijer的观点理所当然地引起了对交际本身的相互过程以及在数学教室中谈判意义和符号工具的方式的注意。

3.（数学）教育的讨论方法

在今天世界各地的Vygotskian风暴之后，当今讨论的概念在关于教育的讨论中获得了很大的关注。作为经典（柏拉图式）的教育和教学模式，在服从和权力的基础上，逐渐证明失败，我们的西方教育所要求的结果需要更多的洞察，理解和兴趣。曾经强烈的知识概念作为客观的思维单元，可以从一个人传递到另一个人，或从一个人到另一个人，这一方面导致人们一方面将教育视为知识传播的一部分，另一方面，从教师到学生的能力，另一方面，相信教学成功最好是在转移方面（在新情况下应用思想因素）来衡量。特别是在两个人之间存在不对称性的情况下，他们的能力和专长（如在教育中），一般认为不可避免的是，更有见识的人将他或她的知识和能力交给另一个人。

但在实践中，教学数学的传递模式转向令人失望。由于教育传播模式和学习的转移模式的令人失望的结果，人们开始审视这些模型背后的假设（Lave和Wenger，1991; Greeno，1997）。因此，许多教师和研究人员逐渐意识到人类教育的基本相互的，交际的性质（Bruner，1996; Wertsch，1985; Wells，1999）。然而，虽然这个社会思想的建构的历史是长期（见Valsiner和van der Veer，2000），我们最近才开始设想其令人信服的影响。

在这里要提出的一个有趣和深远的问题是关于论述参与者之间的关系的观点，特别是关于他们在专门知识上的差异。通过传输模型的反驳及其对客观意义的假设，基于发送者 - 接收者概念的相关通信模型也受到严重质疑。因此，一个人依赖另一个人提供的信息的旧观念不能再被接受作为一个人和一个更为知情的其他人在教育环境中的关系的有效描述。但是如何处理人们之间关于他们的专业知识的不对称性，而不回落到发送者 - 接收者传输模型中呢？特别是在数学教育中，教师和学生之间在专业知识和权威方面的差异传统上被认为是一种传播型教育的合法化，教师在其中演示操作，学生通过密集练习来掌握这些操作。然而，在过去25年中关于数学教育的发展，加强了对更多的话语方法的呼吁，考虑到学生自己对数学问题的理解（见Cobb等人，1993年; Forman，1996年; Gravemeijer，1994），以及对数学是一个社会文化活动（Bishop，1988：Saxe，1991）的文化活动的正义。因此，研究社区的作用和建立通用数学解的实际沟通过程之间的相互关系是数学教育研究者未来议程的主要项目之一（见Bower，2000）。

在解决这个同样的问题时，我们将必须处理课堂交流如何变成数学的问题。显然，数

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BERT VAN OERS

EDUCATIONAL FORMS OF INITIATION IN MATHEMATICAL CULTURE

“Seule lrsquo;histoire peut nous deacute;barrasser de lrsquo;histoire”

Pierre Bourdieu (1982), Leccedil;on sur la leccedil;on (p.9)

ABSTRACT. A review of literature shows that during the history of mathematics educa- tion at school the answer of what counts as lsquo;real mathematicsrsquo; varies. An argument will be given here that defines as lsquo;real mathematicsrsquo; any activity of participating in a mathematical practice. The acknowledgement of the discursive nature of school practices requires an in- depth analysis of the notion of classroom discourse. For a further analysis of this problem Bakhtinrsquo;s notion of speech genre is used. The genre particularly functions as a means for the interlocutors for evaluating utterances as a legitimate part of an ongoing mathematical discourse. The notion of speech genre brings a cultural historical dimension in the dis- course that is supposed to be acted out by the teacher who demonstrates the tools, rules, and norms that are passed on by a mathematical community. This has several consequences for the role of the teacher. His or her mathematical attitude acts out tendencies emerging from the history of the mathematical community (like systemacy, non-contradiction etc.) that subsequently can be imitated and appropriated by pupils in a discourse. Mathematical attitude is the link between the cultural historical dimension of mathematical practices and individual mathematical thinking.

KEY WORDS: activity, tool, discourse, participation, genre, attitude

1. WHAT IS REALLY MATHEMATICAL?

lsquo;Mathrsquo; is widely acknowledged as an undisputed part of the school cur- riculum. Over the past fifty years the classroom approach to mathematics has changed radically from a drill-and-practice affair to a more insight- based problem oriented approach. Every form of mathematics education makes assumptions about what the subject matter of mathematics really is, and – consequently – how the learning individual should relate to other members of the wider culture in order to appropriate this allegedly lsquo;real mathematicsrsquo;, or to put it more directly, to appropriate what is taken to be mathematics in a given community. Part of a schoolrsquo;s responsibility is to induct students into communities of knowledge and the teaching of mathematics can be seen as a process of initiating students in the cul- ture of the mathematical community. In fact, students are from the be-

Educational Studies in Mathematics 46: 59–85, 2001.

copy; 2002 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

ginning of their life a member of a community that extensively employs embodiments of mathematical knowledge. The school focuses attention on these embodiments and their underlying insights, and by so doing draws young children into a new world of understanding, with new conventions, rules and tools. So, basically, here is a process of reacculturation in which a student is assisted to switch membership from one culture to another. Buffeersquo;s (1993) insightful analysis of this process describes reaccultura- tion as mostly a complex and usually even painful process: “Reaccultura- tion involves giving up, modifying, or renegotiating the language, values, knowledge, mores and so on that are constructed, established, and main- tained by the community one is coming from, and becoming fluent instead in the language and so on of another community” (Buffee, 1993, p. 225).

Educational history teaches us that schools have tried to support this

reacculturation process in a variety of ways. Underlying these approaches there are different assumptions concerning the nature of mathematics in the classroom, and concerning the way teachers should communicate with their pupils in the classroom. In this article I w i l l try to apply Bakhtinrsquo;s approach to the discourse in a mathematics classroom, especially focus- ing on the question of how the participants in this classroom are linked together and what common background is to be constructed in order to constitute a way of speaking and interacting that w i l l be acknowledged as a mathematical discourse. The final aim is to find a way of describ- ing some of the conditions that must be fulfilled in order to ascertain that the classroomrsquo;s activity can really count as lsquo;mathematicalrsquo;. There is, however, no direct empirical way of achieving this just by observing a great number of existing classroom practices and describing the events in Bakhtinian terms. When we view the discipline of lsquo;mathematicsrsquo; as a “socially conventionalized discursive frame of understanding” (Steinbring, 1998, p. 364), we must also acknowledge – as Steinbring does – that not only factual technical mathematical operations are involved in mathem- atical activities in classrooms, but epistemological constraints and social conventions are also part of the process. The application of the Bakhtinian jargon requires that the hidden assumptions be brought into the open as they presumably co-determine the style and the course of the discursive process, and the authority and power relationships that are involved.

One of the values that are implicitly or explicitly applied in every math- ematics classroom is an idea about what really counts as mathematical. On the basis of these notions mathematics education researchers, curriculum developers and teachers decide what is relevant or even compulsory for taking into account in the mathematics classes and courses. On the basis of their mathematical epistemology, teachers make observations of pupilsrsquo;

activities and select some actions as relevant or not, they value certain ac- tions as lsquo;goodrsquo; or assess others as false or insignificant (van

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