专家型教师运用数学示例的知识 框架和教学技巧外文翻译资料

专家型教师运用数学示例的知识

框架和教学技巧

Mohini Mohameda， Faridah Sulaimanb 马来西亚泰克诺洛大学教育学院

摘要：本文通过对数学教师在教学中使用的例进行研究，提出了一些初步发现。旨在建立一个能帮助数学教师在教学中选择、使用和改进数学示例的框架。本文通过研究案例、观察课堂、访谈教师、收集教师笔记和对几位专家型教师教学过程的数据进行初步分析，揭示了这些专家型教师在运用数学示例时的知识框架和教学技巧。

关键词：示例; 专家型教师; 数学教学知识

1. 引言

在课堂上，学生们通过示例学习数学思想。示例提供的经验可以帮助学生从示例中抽象出数学概念（Skemp，1987）。示例还可以用作拓展，推理或显示数学关系的媒介（Bills等，2006； Watson和Mason，2002； Zaslavsky，2010）。它是数学教学中不可或缺的一部分（Bills等，2006； Rowland，2008； Watson和Mason，2002； Zaslavsky，2008）。因此，教师在课堂教学中起着至关重要的作用，以确保他们在教学中使用的示例能为学生的学习带来最大的帮助。但是，以前的研究结果表明，在数学教学中使用示例确实存在某些问题。这些研究表明，问题不仅发生在新手型教师中（Crespo，2003年； Huntley，2008年； Rowland，2008年），而且还发生在经验丰富的专家型教师中（Arbaugh和Brown，2005年； Henningsen和Stein，1997年； Stein等人，1996年； Stein等，1996年；Ticha和Hospesova，2006； Zodik和Zaslavsky，2008）。这些研究表明，教师面临着两个示例性问题，即选择和恰当使用示例的问题。这两个问题都会限制学生的学习范围。有人认为有关数学示例的知识并非系统的知识，它是通过教学实践经验获得的，因此它应属于实践知识。（Zaslavsky和Zodik，2007）。但是，也有人认为有关数学示例的知识是专业知识内容的一部分（Ball等，2008）。据Ball和她的同事（2008年）所言，专业内容知识是数学教学知识的领域之一。这是教学所独有的数学知识和技能。数学教学知识是Shulman（1986）关于教学知识内容概念的改进。研究表明，数学教学知识与学生的成绩成正比关系（Baumert等，2010； Hill等，2005）。这意味着教师的数学教学知识将对其教学和学生的学习产生影响。由于关于示例的知识是数学教学知识的一部分，因此，教师在此知识上的弱点将对其教学和学生的学习产生负面影响。

为了识别有关数学示例的知识，应研究数学教师的教学过程。尽管关于示例的知识是通过教学经验获得的，但并不是所有的教师都能从他们的经验中学到（ Ball和Bass，2003； Hiebert等， 2002； Kennedy，2002）。因此，应该对数学教师有效的教学过程进行研究。在马来西亚，专家型数学教师是被教育部认可为具备一定专业能力的教师。在教学过程中研究示例，将使我们能够回答以下问题：

他们如何选择数学示例？

他们如何在教学中使用数学示例？

他们如何改进数学示例？

这些问题的答案将有助于通过示例来构建专家型数学教师的知识和教学技能框架。该框架可用于帮助数学教师在教学中更好的选择，使用和改进数学示例。希望有效的数学示例可以帮助教师提高教学质量，促进学生的学习。

2.方法

这项正在进行的研究使用定性方法和多个案例研究设计。它涉及在柔佛州高中任教的专业数学教师。到目前为止，已收集了三位教学能力较差的教师教学过程中的数据。教学过程分为三个阶段。课堂前，交互课堂和课堂后。使用五种方法收集数据，分别是课堂前笔记，观察，简短访谈，课堂后笔记和最终访谈。对于每位教师，在最终访谈之前都要收集四次数据。这些是关于教师在授课前如何选择数学示例方法的数据，通过预备笔记从预备阶段收集的。这些数据得到了来自观察和最终访谈的数据的支持。同时，在互动阶段，通过观察收集了有关教师如何在教学中使用示例的数据。这些数据得到了来自简短访谈和最终访谈的其他数据的支持。最后，在课堂后阶段，记录有关这些专业数学教师如何改进数学示例的数据。来自观察和最终访谈的数据将用于支持课堂笔记中的数据最终使用常数比较法来分析数据。

3.初步发现

本文报道的初步发现是第一轮分析的结果。E1，E2和E3是专业的数学教师。

3.1示例选择

3.1.1示例选择之前要考虑的要素

在选择教学示例之前，专家型数学教师考虑了三个要素。

(i)课程规范

课程规范是课程提纲的辅助文件，它包含有关提纲中每个主题的学习宗旨和学习目标信息。三位专家数学教师都参考课程规范，以了解他们的学生应在课堂中应获得哪些知识和技能。

E1:“您必须参考规范...分析您要教的教材内容”。

E2:“这是指导方针。它告诉您学生必须掌握的技能类型”。

E3:“您必须了解规范。它会告知您应该教的内容”。

(ii)重新安排学习目标的顺序

这些专家数学教师没有遵循课程规范中学习目标的顺序。他们根据学生的学习能力重新安排课程规范中学习目标的顺序。重新安排的目的是以有助于学生学习的方式来计划教学。例如，E1打算运用直线给他的学生上“运动”这一课。在课程规范中，该内容具有三个学习宗旨和11个学习目标。他将这些学习目标合并并重新排列为六个学习成果。在另一种情况下，当E2向班级讲授“统计学”时，学习目标之一是学生必须能够绘制直方图。在学生能够学会绘制直方图前，她添加了另一项学生们必须达成的学习目标。他们必须能够以正确且统一的比例标记水平和垂直轴。与E1类似，E3结合并重新安排了针对教学内容“概率”的学习目标，为了避免学生之间的知识混淆。

(iii)旧知的掌握

专业的数学教师会在教授新的数学知识之前，确定学生已经掌握了之前学习的知识。他们还必须知道学生对于这个知识的掌握程度。如果学生没有掌握以前所需的知识，则教师必须再次指导他们，然后他们才能教授新的数学知识。

3.1.2示例改进

专业的数学教师会根据学生需求，变化数学示例并提供给学生：

分析过去几年的考题

教学大纲和课程规范提供了必须教授的内容，必须达到的学习目标和学习成果，但两个文件都没有告诉教师这些知识应掌握到何种程度，学生能使用这些知识来解决哪些问题。为了克服这些缺点，专业的数学教师分析了过去一年的考题，试图确定知识的掌握程度。从分析结果来看，这些教师根据知识掌握程度选择或构建自己的示例。

3.1.3学习问题

从经验来看，所有这些专业的数学教师都知道，当他们讲授教材内容时，学生会发生什么样的错误，疏忽或误解。因此，他们故意选择一些示例，导致学生遇到这些问题。E1正在教授“排列”。他知道，要求学生在一定条件下安排数字时，他们容易犯错误。他选择以下示例来帮助他的学生理解这一概念。这两个示例看起来相似。学生倾向于重复他们在第一个示例中使用的步骤来解决第二个示例，这就是问题所在。

求一个由1、2、3、4、5、6、7组成的五位数，已知该数符合以下条件，数字不可重复：

(a)该数字超过45000。

(b)这个数字超过53 000。

3.2示例的使用

3.2.1示例类型

使用了四种类型的数学示例。

(i)概念示例

此类示例用于向学生介绍一种新的数学概念。这个示例通常是可以与学生的日常生活相联系的事物。为了介绍概率的基本概念，E3使用此示例。

“如果我邀请你参加我的开放日课堂，你有多少概率会来？”

(ii)程序示例

此类示例用于展示应用数学知识进行相关计算的过程。这是E1用来向他的学生展示如何计算速度（v），加速度（a）和位移（s）方程的示例。

(a)当s = t3-t2-8t时计算a和v。

(b)v = 4t-2时计算a和s。

(iii)应用示例

这类示例用于向学生介绍，如何使用他们刚刚学到的概念或知识来解决数学问题。E3使用此示例向学生展示如何使用概率的基本概念来计算概率。

在90名学生中，有70名是女孩。然后再有10个男孩加入小组。如果从小组中随机选择一个学生，请计算是男孩的概率。

(iv)加固示例

这些示例就像应用程序示例一样，但是用于加深学生对数学知识的理解。

3.2.2处理示例的方法

(i)教师和他们的学生一起处理的示例

此方法与概念，程序或应用示例一起使用。他们一起尝试解决示例中给出的问题。

(ii)学生处理的示例

此方法与加固示例一起使用。学生必须独立或合作解决示例问题。

(iii)如果将要讲授的新知是对旧知的深化，则需要通过示例向学生展示该旧知的不足。教师使用此示例作为媒介，向学生解释新知与旧知相比的优势。在下面的表格中，学生已经看到并知道如何使用频率表中给出的数据，但是这些数据之间并不关联。当E2想要介绍标度分类间隔的概念时，她使用了此示例。

以下数据显示了15名学生在数学考试中获得的分数

然后，她问这些问题：

(i)多少学生获得40分以上？

(ii)有多少学生能获得A？

要回答这些问题，学生必须确定给定条件然后计算满足条件的分数。在他们完成后，E2引入了标度分类间隔的概念，并展示了与他们的旧知相比该概念的优势。

3.2.3用示例来检验学生的知识掌握程度

专家型数学教师以三种不同方式使用示例来检验学生的知识掌握程度。

(i)教师以示例为基础提出问题。学生对这些问题的回答反映他们的知识掌握程度。

(ii)学生以示例为基础，就所面临的数学问题向教师提出困惑。这些问题可帮助教师确定困惑的原因。

(iii)教师可以通过学生对与示例中数学问题的解释或解决方法发现学生的知识掌握程度。

3.2.4使用示例解决学习中可能遇到的问题

从一开始，专业的数学教师就发现了可能导致学习问题的潜在因素。他们故意将这些元素合并到他们使用的示例中。让学生自己解决这些问题。只有在学生尝试解决后，教师才会给予帮助和解释。

3.3改进已使用的数学示例

(a)示例的有效性

为了评估他们使用示例的有效性，专业的数学教师将根据以下标准进行评价：

(i)学生自行解决课堂中加固示例的能力。

(ii)学生的家庭作业情况。

这些评估的结果将用于评价他们使用的数学示例是否具有有效性。

(b)改进示例的建议

专业数学教师在给出任何建议之前先分析了两个要素。这两个要素是他们使用示例的内容以及在课堂中使用示例的方式，教师们根据分析提出以下建议。

E2在她的课堂记录中写道，她将从下表中删除中点列。由于她的目的是要学生以上下边界为轴绘制直方图，因此中点列可能会引起学生的困惑。

在他的课后笔记中，E1写道，下次他教授“排列”时将改变他解释答案可能性的方式。他认为以前的解释会引起误解。

4.讨论

选择示例并非易事。从最初的发现来看，这些专家型教师使用的知识是一种实践知识，是从他们的教学经验中学到的知识。他们利用这些知识满足课程，学生学习和考试的需要。这些知识使他们能够根据学生的能力，提供适合学生的最佳示例，同时满足课程和考试的需求。这些专家型数学教师使用的每个示例都有自己的目的。这些教师根据这些目的进行教学。他们对学生面对数学示例的回答，困惑和观点很敏感。这种敏感性有助于他们帮助和深化学生的学习。同时这也起到了帮助这些专家型数学教师改善数学示例的作用。关于数学示例的知识并非不重要。它显示了教师在教学中整合和平衡许多重要元素的能力。最初的发现倾向于表明专家型数学教师使用的知识框架是动态的。它确保了课堂教学质量的不断提高和数学示例的正确使用，使课堂的教与学更加高效。

5.结论

这些初步发现表明，专家型数学教师会根据需要实现的学习目标，以相同的方式选择和使用示例。这与以前的研究结果相反（Crespo，2003； Rowland，2008； Henningsen和Stein，1997； Stein等，1996）。以前的研究结果表明，当选择的

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