中美课堂中的解题表征与教学表征外文翻译资料

中美课堂中的解题表征与教学表征

原作者 蔡金法^a,lowast;, Frank K. Lester Jr.^b

单位 ^a美国特拉华大学 ^b美国印第安纳大学

摘要：本文主要阐述了在中美教学中，教师使用的教学表征与学生解题表征之间的联系。调查研究表明，教师的教学表征影响着学生的解题表征从而影响了学生对问题的解答。其中一个具有实践意义的发现是当一个学生有机会自己去构建一个数学概念、法则和关系时，他们应该被鼓励去发展符号表征能力而不是仅仅对一个具体事物的表示。此外，研究还发现中国教师在完成教学任务时基本上都会使用符号表征，而美国教师基本上只使用语言和图片表征。这说明实践中的教学往往被社会和文化因素所制约。

关键词：问题解决；解题表征；教学表征；课堂教学；教学任务；开放式任务；跨国研究

学习数学知识的一般性，而在解决问题时从一般到特殊是需要个人从事各种各样的认知活动的，每一项活动都需要一些相关知识和技能，其中有些活动还并不常规。前人已经做过许多的尝试去定义和描述问题解决，但是大多数都有缺点，缺少了其涉及的意义。其中的一点就是大多数的定义没有承认表征在问题解决过程中所扮演的重要角色。以下这个定义比我们见过的要更加接近一些：

成功地解决数学问题需要前期的合作经验，知识，熟练度和推理模式，努力创建表征的直觉和相关推理模式，这些都能解决定义中的矛盾和模棱两可（即缺少有意义的表征和支持性的推理活动）从而促成了独创的问题解决活动。

我们并不是唯一强调表征的中心性的；的确，表征被认为是特别重要的概念不仅仅体现在解决问题上，还体现在数学的一般性学习上。（Goldin, 2002, 2003; Janvier, 1987; Monk, 2003; Perkins amp; Unger, 1994; Smith, 2003）

在此次研究中，我们测试了中美课堂教学对学生数学思维产生的影响。特别的，我们的目标是测试：（1）学生在尝试解决开放式评估任务时所使用的解题表征，（2）在中美课堂中，教师与学生所使用的教学表征，（3）教师的教学表征与学生的解题表征之间的关系。通过分析解题和教学表征，我们希望能够对我们所观察到的中美学生解决数学问题的差异有更好的理解。

1、学生的解题表征与教师的教学表征

如上所述，成功的数学问题解决者的特点之一是他们有能力创造和使用适合的表征，包括内部表征和外部表征。表征的概念已经被研究者用不同的但相关的方式使用。在本次研究中，我们的研究重点是外部的教学和解题表征，即，教师在传递抽象数学知识时表达和呈现教学材料的形式。（见Goldin, 2002, 2003,对内部和外部表征的延伸讨论。）

• 1. 解题表征

在解决一道问题时，一名解题者需要建立问题表征，这不仅仅能帮助其规划和理解问题的意义，还能够与他人交流思想。最初，问题解决者的表征可能只包括假设和解决问题的目标状态。通常，解题者看待问题的表征会改变。在问题被解决之后解题者可能会用另一个表征来表达其解决方案。因此，解题者在与他人交流其解题思路时所生成的解题表征是一个可见的过程。此外，不论是最初的还是最终的，这些表征都是因人而异的。

此前，已经有跨国的研究利用开放式任务对美国和亚洲的学生做了测试，除了测试答案的正确率以外，还测试了学生解决数学问题时的思维和推理过程（例如Becker, Sawada, 和 Shimizu, 1999；蔡，1995，2000；Silver，梁和蔡，1995）。在解决一个开放式的问题时，测试者要求学生不仅要写下正确答案还要写下其回答问题时的思路和推理过程。这一研究揭示了美国与亚洲学生之间存在着解题表征的巨大差别。亚洲的学生更倾向于使用符号表征（例如算数或代数符号），而美国的学生则更喜欢用视觉表征（例如图象）。

一些研究者（例如Dreyfus和Eisenberg, 1996; Smith, 2003）指出，实际的表征和策略是有局限性的，因为在解决问题时，这些策略应根据问题的背景及任务本身性质的不同而变化。实际的表征可能会限制学生的思维和进一步的学习，除非帮助他们转换到更广泛的方法中去。因此，符号表征应该是更加先进和复杂的（Dreyfus和Eisenberg, 1996; Putnam et al., 1990）。如果是这样的话，那么在这些研究中，相比于那些使用其他表征如视觉表征的学生，使用符号表征的学生可以获得更高的平均分。这项研究就是来测试这个假设的。

根据发展心理学家（例如Bennett, 1999; Case, 1985; Gardner, 1991; Piaget, 1964）所言，儿童刚开始将具体的事物作为他们的世界的代表只是后来变成了更加抽象的表征。当他们长大一些后，小学高年级学生和中学生开始可以在心里思考和操作数学对象并且可以用数字和符号表示。由于认知发展的表征和理解的定性变化，中美两国学生使用不同的表征意味着他们应该有不同的发展。然而，最近的研究表明，以发展的角度来看，这不能够说明中美两国学生解决问题时使用了不同的表征。在一项研究中，在测试了中美两国学生的不同发展后，蔡（2004）发现4、5年级的中国学生使用具体的视觉的表征没有像6年级的美国学生那样频繁。事实上，中美学生在使用不同解题方法上的差异在幼儿园和小学低年级时就出现了。Geary, Bow-Thomas, 刘和Siegler （1996）测试了幼儿园和小学一二三年级学生（5-8岁）算术能力的发展，他们发现在不同年级中，中美学生在策略选择的分布上有相当大的差异。中国儿童更喜欢用口算来解决简单的加法问题，而相比之下，美国儿童则更依赖于数手指。此外，在做加法问题时，分解是中国儿童主要的备份策略，而数手指则是美国儿童主要的备份策略。由于思维和记忆习惯的养成都是在学校里得到发展的，研究教学对学生思维的影响具有重要意义。

1.2 教学表征

为什么中美学生在解决数学问题时的表现会有如此显著的差异？在中国，学生在五年级和六年级时就已经正式的开始学习变量、方程和解方程了，而相比之下，大多数的美国学生在八九年级前都不会系统性地学习这些概念（数学科学教育，1998）。因此，中国教育在解题时选择使用符号表征很有可能是受到中国学生需要更早的学习代数概念这一因素的影响。然而，蔡（2004）发现美国学生缺乏学习代数的机会不能解释为他们更少的使用广泛的符号表征。的确，在蔡的研究中，他发现有相当一部分的美国学生包括八年级的学生在正式的学习了代数的概念后仍然使用视觉表征。另一方面，无论是否正式学习过代数的概念，中国学生都很少使用视觉表征。另一个假设是，在课堂教学中，中美教师是如何看待和构建各种各样的表征来帮助学生学习数学和解决问题的，中美学生使用不同的解题表征可能之与有关。

对于我们来说，教学表征是教师和学生在课堂中使用的表征，它是承载知识和思维的工具来解释一个概念、关系、联系或者是问题解决的过程。

在数学教学中，一些表征可能比另一些更适合成为承载知识和思维的工具来说明一个解题过程。教学表征的设计不仅仅与知识的理论和研究有关，还与学生学习和理解方面，特定表征的功能有关（Greeno, 1987）。几个研究者探索了基于有关理解的理论和研究的教学表征后发现，在教学时考虑到问题表征有助于学生问题的解决和理解（详见Greeno，1987）。举个例子，如果学生知道或者是容易得知教学表征，那么教学表征在课堂教学中是很有效的（Leinhardt, 2001）。当我们在中美课堂中测试教学表征时，我们既关注师生使用了何种表征也关注师生是如何使用这些表征的。

2、方法

2.1 参与者

此次研究，我们选择了贵州省贵阳市和威斯康星州密尔沃基市两座城市作为研究地点。贵州省位于中国的西南部地区，贵阳市是贵州的省会城市，其市区以及周围的郊区聚集了大约一百万的人口，而在经济上并不像北京、上海、广州那样发达。密尔沃基市的主城区位于美国的中西部地区，大约有一百万人口，跟贵阳一样，其经济并不像美国的东部或西部地区那样发达。

在中美两国选择研究样本时，我们采用了相同的步骤。特别的，那些学校是在位于每个研究点的教育者的推荐这下选择的。在中国的六所学校中，有三所学校是在平均水平以上的，而另外三所处于平均水平。虽然这些学校是在一些中国教师和数学教育专家的推荐下选择的，但是在学生的人口和家庭背景方面没有任何有意义的非典型的地域因素。在确定了学校的选择后，每一所学校，我们都从志愿参加的老师中选择了一名六年级的数学教师，而每所学校中被选中的老师的学生都要被测试。六所学校一共有310名六年级中国学生。

文献出处：Journal of Mathematical Behavior, 24(3–4), 221–237.

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