概率论外文翻译资料

概率论

J.M. Steele

Wharton

概率论是数学的一部分,旨在提供洞察现象依赖机会或不确定性。最普遍使用的通过频率论者的理论解释的可能性重复实验的结果,但概率还用于提供一个衡量主观的信念,特别是下来评判一个人的意愿。

概率论的根源跟古老的数学在许多地方上不是一样的,调查得知只有在16和17世纪由皮埃尔德费马等人发现第一泛着微光的理论。这些著名的数学家和哲学家在概率的主题理论保持体面的外围,很长一段时间的发展是停止和悲惨的。通过二十世纪的前三分之一时间，十八世纪的雅各布·伯努利(见伯努利家族)和亚伯拉罕被视为近明确论文的可能性理论得以继续。不过,即使是在20世纪的早期概率论时遭受缺乏广泛接受的基础上,其仍有深远的发展,最明显的是：爱因斯坦的布朗运动在1905年提供第一Avagadro数的测定。然而,在1933年安德烈·尼古拉耶维奇大公柯尔莫哥洛夫发表了他优雅简洁的《基础概率论》，数学世界渴望这样一个处理,概率论发展是爆炸性的。

1坚实的基础

柯尔莫哥洛夫基础概率论的中心是他介绍的三个公理,我们现在所称的概率空间(;F;P),有时“概率论三位一体”。第一个元素是考虑对象的整体。第二个元素是集合的子集。第三个元素是一个函数,它的每个元素分配一个实数的f函数概率测度P,它满足了三个公理:

公理1：对于任意一个集合， 即对于任意的事件。即任一事件的概率都可以用0到1区间上的一个实数来表示。

公理2：任意两两不相交事件的可数序列满足，即不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。

公理3：.

公理1和3是相当稳定的。公理1只吸引了我们理解概率的事件非负性。公理3只呼应我假设偶然的实验模拟对所有可能的宇宙是一个明智的表示结果。只有公理2可以有任何争议,有时，争论的焦点是倾向于概率论的理论，只需要集合的有限集合的概率的可加性。柯尔莫哥洛夫假设其可列可加性的决定并不是唯一的可能的选择,但这是一个多产的一个已被证明是合适的各种各样的环境。

柯尔莫哥洛夫第二公理数学的好处是：它连接早在二十世纪概率随着测量理论的提出了理论的波莱尔,勒贝格等人。事实上这是勒贝格注意到一些13年里勒贝格著名的1902篇论文，一个概率测度的自然领域是一个集集，是互补和可数的。我们叫这样的集合为代数,柯尔莫哥洛夫要求他的第三项正是这样的一个集合。

2基本理论量

在实际看来,柯尔莫哥洛夫的概率是公理化的概率似乎只是推迟的概率模型，用来通知我们关于物理世界和社会的建设问题,而是把难以捉摸的概率函数P在公理化基础提供了保证，一个真正的柯尔莫哥洛夫研究概率为明智的作为一个可以研究测量理论，分析或代数。特别是,人们可以进行调查的对象是从概率的早期关注的。概率论最基本的概念之一是随机变量,和柯尔莫哥洛夫的框架无非是一个随机变量函数。

概率分布函数和期望为我们提供的操作需要表达的核心语言几乎所有人需要说对单个随机变量。例如,一个分散的基本随机变量的方差,在柯尔莫哥洛夫框架的一个随机变量无非是一个函数，从X：→R，，当该定义站稳脚跟时，我们把X的分布函数F的定义是

因为集合在集函数P定义域内，在这个框架的期望E（X）的随机变x可以定义为勒贝格积分的X对于P，或如黎曼Stieltjes相对于F积分，给我们

概率分布函数和期望的操作提供所需的表达几乎一切需要说的单个随机变量的核心语言。例如，对离散型随机变量的基本措施是方差，其中写道：在预期的条件

其中和X的标准差定义为平方根的方差。

3、独立核心作用

我们确定了期望和分布是最基本的概率论基本语言,但当代数的中心概念的引入，和随机变量，概率论的真正的力量才出现的独立事件。首先定义元素A和B为独立设置开始,

随机变量独立性的这个定义可能看起来有点累赘的起初，但多数情况下是不是独立的，有时是在基本的文本，为X和Y的联合密度因子化的定义更方便。事实上，密度可能不存在，但这不是说点。以上问题的核心是，柯尔莫哥洛夫定义一清楚的看到，X和Y的独立性意味着f（X）独立和G（Y）的任何单调函数f和g，而如果需要验证一个密度分解这种直观的事实是繁琐的检查。

在概率论里，说两个事件是独立的，直觉是指一事件的发生不会影响到另一事件的发生概率。例如，第一次掷骰子掷出的数目和第二次会出现的数目是相互独立的。直觉地，两个随机变量X和Y给定Z条件独立，如果：一旦知道了Z，从Y的值便不能得出任何关于X的信息。例如，相同的数量Z的两个测量X和Y不是独立的，但它们是给定Z条件独立（除非两个测量的误差是有关联的）。

条件独立的正式定义是基于条件分布的想法。

1. 应用定理

有两定理，在概率论的重要定理。第一个是大数法则，没有它，我们最基本的直觉

概率论与物理世界的关系会别扭。二是中心极限定理，这可以说是成绩最清楚对概率的应用作为助手统计，以及对社会和物理科学。

定理一（大数定理）：设为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的，则有。

定理二（中心极限定理）：设随机变量序列相互独立，均具有相同的数学期望与方差，且，，i=1,2,···，令：

则称随机变量为随机变量序列的规范和。

定义1 若连接 I 内任意两点 x 与 y 的任意线都含于 I,则称 I 为 Rⁿ内的凸区域.

定义2 设为定义在I上的实函数,若对 I上任意两点 x,y 和任意实数 ,恒有:,则称为 I 上的凸函数;反之,如果,则称 为 I 上的凹函数.

设 X 为定义于概率空间内的随机变量,为X的分布函数,为X的密度函数,且, .

引理1(数学分析中的一般Jensen不等式)

若为区间上的凸函数,对任意的,,,且,则有:

.

引理2 (Jensen)不等式)

设xi;是一随机变量,,.设,是连续的凸函数.若和存在,则．

推论 设,是连续的凹函数.若和存在,则.

引理3(柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式)若是一个二维随机变量,又,,则有,特别地,当xi;和eta;相互独立时,有.

1. 非独立随机变量

While the purest view of the aims and accomplishments of probability theory may

be found in the study of sums of independent random variables, the applications of

probability theory require the development of structures that also capture aspects

of dependence.而纯粹的和概率论的成就目标视图可以在独立随机变量和的研究发现，概率论的应用程序需要的结构，同时捕获方面发展的依赖。尽管概率论最纯粹的目标视图可以在独立随机变量和的研究发现，但是概率论的应用程序所需要的结构方面发展的依赖。举个最简单的一个这样的系统的例子，我们考虑一个有限集集合和矩阵其中，我们现在考虑一个随机变量序列，根据矩阵P的行顺序转换定义。特别的，设，通过从集与概率的一致选择确定。这样的一个随机变量序列称为一个马尔可夫链，和该序列的理论提供了重要的第一从独立随机变量的理论核心步骤。序列的指数通常被视为“时间”和一个马尔可夫链的概念的重要扩展是一个马尔可夫过程中的指标是整个正实线和状态空间允许R（或更加复杂的空间）。最重要的是布朗。对于概率论，超越了独立发展的另一个方向是利用鞅理论提供。在一个层面上，鞅捕获一个公平的赌博游戏的概念，虽然这种观点是有趣的（忠诚的概率论的起源）鞅理论是对许多种类的调查，一个合适的工具（见生存分析方法计算）。特别是，鞅理论为马尔可夫过程理论和调和函数的经典理论之间的深刻联系的关键。

6、参考文献

a）Adams, W.J. (1974). The Life and Times of the Central Limit Theorem, Kaedmon

Press, New York.

b) Chung, K.L. (1974). Elementary Probability with Stochastic Processes. Springer-Verlag, New York.

c) David, F.N. (1962). Games, Gods, and Gambling: The Origins and History of

Probability from the Earliest Times to the Newtonian Era. Griffin, London.

d) Doob, Joseph L. (1994). The development of rigor in mathematical probability

(1900-1950), in Development of Mathematics 1900-1950, J.-P. Pier, ed.Birkhauser-Verlag, Basel.

e) Dudley, R.M. (1989). Real Analysis and Probability.Wadsworth-Brooks/Cole,

Pacific Grove.9

f) Durren, R. (1991). Probability: Theory and Examples,Wadsworth-Brooks/Cole,

Pacific Grove.

g) Einstein, A. (1905). On the movement of small particles suspended in a stationary.liquid demanded by the molecular-kinetic theory of heat (in German),

Ann. Pys. (Ser. 4) 17, 549–560.

h) Feller, W. (1968). An Introduction to Probability and Its Applications. Vol. I,3rd Ed. Wiley,, New York.

i) Kolmogorov, A.N. (1933). Grundbeggriffe der Wahrscheinlichtkeitrechnung..

Springer-Verlag, Berlin. (English translation: N. Morrison (1956), Foundationsof the Theory of Probability, Chelsea, New York.)

j) Stigler, S.M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertaintybefore 1900. Harvard University Press, Cambridge, MA.(See also Axioms of Probability; Foundations of Probability)

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